Fabri-Picasso-Theorem

Satz in der Quantenphysik

Das Fabri-Picasso-Theorem, nach Elio Fabri und Luigi Ettore Picasso, ist eine Aussage aus der Quantenfeldtheorie. Das Theorem besagt, dass die Operatornorm des Ladungsoperators unendlich ist, wenn die zugrundeliegende Symmetriegruppe explizit oder spontan gebrochen wird. Daraus folgt, dass der Ladungsoperator nicht als Operator auf den Zustandsraum angesehen werden kann und entsprechend keine Ladung als Eigenwert eines Zustandes definiert werden kann. In diesem Sinn gehört das Fabri-Picasso-Theorem zu den sogenannten no-go-Theoremen der Quantenfeldtheorie.

Eine Folge des Fabri-Picasso-Theorems ist, dass im Standardmodell aufgrund der spontanen Symmetriebrechung bei der elektroschwachen Wechselwirkung (im Rahmen des Higgs-Mechanismus) eine elektrische Ladung für die elektromagnetische Wechselwirkung existiert, aber keine analoge Ladung für die schwache Wechselwirkung.

BeweisBearbeiten

Angenommen, es existiert ein hermitescher Ladungsoperator  , der auf dem Zustandsraum operiert. Angewandt auf den Zustand des Quantenvakuums   gilt aufgrund der Translationsinvarianz des Vakuums und der Tatsache, dass der Ladungsoperator mit dem Impulsoperator   vertauscht:

 

Der Integrand ist in der letzten Form manifest ortsunabhängig; für ein finites Resultat muss also   gelten. Exakt dies ist nur für ungebrochene Symmetrien der Fall.

Anwendung auf das StandardmodellBearbeiten

Der Higgs-Mechanismus führt zu einem Vakuumerwartungswert ungleich Null, so dass

 

ist (  hat die Dimension einer Energie,  ). Die Generatoren der durch den Higgs-Mechanismus gebrochenen  -Symmetriegruppe sind die drei Pauli-Matrizen für die   und die Einheitsmatrix für die  . Es existiert genau eine nichttriviale Linearkombination, die das Vakuum annihiliert:  . Aus der Definition des schwachen Isospins   und der schwachen Hyperladung   als Ladungen der   beziehungsweise der   folgt, dass nach der Symmetriebrechung genau eine valide Ladung übrig bleibt – die elektrische Ladung:

 

LiteraturBearbeiten

  • Ian J. R. Aitchison und Anthony J. G. Hey: Gauge Theories in Particle Physics, Volume 2: Non-Abelian Gauge Theories: QCD and the Electroweak Theory. 3. Auflage. Institute of Physics Publishing, Bristol, Philadelphia 2004, ISBN 0-7503-0950-4 (englisch).
  • Elio Fabri und Luigi Ettore Picasso: Quantum Field Theory and Approximate Symmetries. In: Phys. Rev. Lett. Band 16, Nr. 10, 1966, S. 408–410 (englisch).