Dynkin-System

Mengensystem in der Maßtheorie
(Weitergeleitet von Erzeugtes Dynkin-System)

Ein Dynkin-System (manchmal auch λ-System genannt) ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin. Sie sind in Kombination mit dem Dynkinschen π-λ-Satz ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Eindeutigkeitsaussagen in der Maßtheorie und Stochastik (siehe Maßeindeutigkeitssatz).

Definition

Bearbeiten

Eine Teilmenge   der Potenzmenge   einer Grundmenge   heißt Dynkin-System über  , falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:[1]

  • Das System enthält die Grundmenge:
 .
  • Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:
 .
  disjunkt  

δ-Operator

Bearbeiten

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über   ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher   ein Mengensystem, dann wird durch

 

ein Dynkin-System   definiert, genannt das von   erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches   enthält.   heißt Erzeuger von  .

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als  -System auch als  -Operator   notiert. Weitere alternative Bezeichnungen sind   oder  .

Das Dynkin-System-Argument

Bearbeiten

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei   eine Aussage, die für Mengen   entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei   eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger  , für dessen Elemente man   zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem   und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von   einerseits  , andererseits gilt aber auch   und damit wegen   schon  .

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen

Bearbeiten
 
Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

σ-Algebren

Bearbeiten

Jede σ-Algebra ist immer auch ein Dynkin-System. Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel[2] für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist

 

auf der Grundmenge  . Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.

Es gilt außerdem der dynkinsche π-λ-Satz: Ist   ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von   erzeugte σ-Algebra und das von   erzeugte Dynkin-System überein.

Monotone Klassen

Bearbeiten

Dynkin-Systeme lassen sich auch über monotone Klassen definieren: Ein Mengensystem   ist genau dann ein Dynkin-System, wenn   eine monotone Klasse ist, welche die Obermenge   enthält und in der für beliebige Mengen   mit   auch   gilt.

Literatur

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 1992, ISBN 3-11-013626-0, S. 7, Def. 2.1.
  2. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 4, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.