Typklassifikation (Von-Neumann-Algebra)

Klassen in den von-Neumann-Algebren

Die hier vorgestellte Typklassifikation teilt die in der Mathematik untersuchten Von-Neumann-Algebren in Klassen ein, die man Typ nennt. Diese auf Francis J. Murray und John von Neumann zurückgehende Klassifizierung beruht auf einer Analyse der Struktur der in einer Von-Neumann-Algebra enthaltenen Orthogonalprojektionen. Während beliebige Von-Neumann-Algebren Bestandteile unterschiedlicher Typen haben können, ist ein Faktor immer von genau einem Typ. Daher spielen diese Begriffsbildungen bei der Untersuchung der Faktoren eine wichtige Rolle.

Motivation

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Die Grundidee besteht darin, Projektionen einer Von-Neumann-Algebra   auf einem Hilbertraum   der Größe nach zu vergleichen. Ist   eine solche Projektion (mit Projektion ist hier immer eine Orthogonalprojektion gemeint), so gehört dazu der projizierte Raum   und umgekehrt gibt es zu jedem abgeschlossenen Unterraum in   genau eine Projektion auf diesen Unterraum. Es liegt daher nahe, die Mengen   zum Größenvergleich heranzuziehen. Gilt   für zwei Projektionen   und  , so wird man   als die größere bezeichnen wollen. Wie bei allgemeinen Mengen kann es vorkommen, dass zwei Projektionen auf diese Weise nicht direkt miteinander vergleichbar sind, da zwischen den projizierten Räumen keine Inklusionsbeziehung besteht. Bei zwei Mengen kann man Vergleichbarkeit dadurch herstellen, dass man eine der Mengen bijektiv auf eine Teilmenge der anderen abbildet. Verfolgt man diese Analogie zwischen Mengen und Projektionen weiter, und diese Sichtweise erweist sich als sehr fruchtbar, so kommt man zwanglos zur folgenden Begriffsbildung:

Definition: Zwei Projektionen   heißen äquivalent, in Zeichen  , wenn es ein   mit   und   gibt, ein solches   ist dann eine partielle Isometrie. Man sagt,   sei schwächer als  , in Zeichen  , falls es eine Projektion   gibt mit   und  .

Äquivalenz und Vergleichbarkeit hängen von der Von-Neumann-Algebra   ab, denn es wird verlangt, dass die partielle Isometrie obiger Definition ebenfalls in   liegt. In einer kommutativen Von-Neumann-Algebra   sind äquivalente Projektionen gleich (denn aus   und   folgt wegen der Kommutativität  ), in der größeren Von-Neumann-Algebra   ist das nicht der Fall.

Man kann zeigen, dass   eine Äquivalenzrelation ist und   eine partielle Ordnung auf der Menge der Äquivalenzklassen induziert. Insbesondere gilt also  , falls   und  , was der schwierigere Teil des Beweises ist.

Projektionen in Von-Neumann-Algebren

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Projektionen in einer Von-Neumann-Algebra können eine Reihe von Eigenschaften haben:

  • Eine Projektion heißt zentral, wenn sie im Zentrum   von   liegt. Hier bezeichnet   die Kommutante von  .
  • Eine von 0 verschiedene Projektion   heißt minimal, wenn für jede Projektion   mit   entweder   oder   gilt.
  • Eine Projektion   heißt endlich, wenn für jede Projektion   mit   und   bereits   folgt. Man beachte die Analogie zur Mengenlehre: Eine Menge ist genau dann endlich, wenn sie nicht zu einer echten Teilmenge gleichmächtig ist. Minimale Projektionen sind endlich und diese entsprechen in der Analogie zur Mengenlehre den einelementigen Mengen.
  • Nicht-endliche Projektionen heißen unendlich. Eine Projektion   heißt echt unendlich, wenn für jede zentrale Projektion   entweder   oder   unendlich ist.
  • Eine Projektion   heißt rein unendlich, wenn für jede endliche Projektion   mit   bereits   folgt. Rein unendliche Projektionen sind echt unendlich.
  • Eine Projektion   heißt abelsch, falls   eine abelsche Von-Neumann-Algebra auf   ist. Dazu beachte man, dass mit   üblicherweise die Algebra aller Operatoren  ,  , bezeichnet wird, was stets wieder eine Von-Neumann-Algebra ist. Abelsche Projektionen sind endlich.
  • Zu jeder Projektion   gibt es eine kleinste zentrale Projektion   mit  , das heißt für jede andere zentrale Projektion   mit   gilt  . Diese Projektion   heißt zentraler Träger von   und wird mit   bezeichnet.

Entsprechend heißt eine Von-Neumann-Algebra endlich, unendlich, echt unendlich, bzw. rein unendlich, wenn diese Eigenschaften auf das Einselement   zutreffen. Dieselbe Beziehung gilt offenbar für die Eigenschaft abelsch: Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann abelsch (das heißt kommutativ), wenn   eine abelsche Projektion ist.

Vergleichbarkeitssatz

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Zwei beliebige Projektionen müssen nicht vergleichbar sein. Man kann die Von-Neumann-Algebra aber in eine direkte Summe von drei Von-Neumann-Algebren zerlegen, so dass in jedem Summanden Vergleichbarkeit vorliegt. Es gilt der folgende Satz:

Vergleichbarkeitssatz: Es seien   Projektionen in der Von-Neumann-Algebra  . Dann gibt es eindeutig bestimmte, paarweise orthogonale, zentrale Projektionen   mit  , so dass Folgendes gilt:

  •  .
  • Ist   eine zentrale Projektion mit  , so gilt  .
  • Ist   eine zentrale Projektion mit  , so gilt  .

Dabei steht   abkürzend für " , und  " und zwei Projektionen heißen orthogonal (zueinander), wenn ihr Produkt 0 ist.

Typ I, Typ II, Typ III

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  • Eine Von-Neumann-Algebra   heißt vom Typ I (lies: Typ eins), wenn es eine abelsche Projektion   mit   gibt.
  •   heißt genauer vom Typ In, wobei  , falls   vom Typ I ist und   die Summe von   paarweise äquivalenten abelschen Projektionen ist.
  • Eine Von-Neumann-Algebra   heißt vom Typ II, wenn sie keine von 0 verschiedenen abelschen Projektionen besitzt, aber eine endliche Projektion   mit  .
  • Eine Von-Neumann-Algebra   vom Typ II heißt vom Typ II1, wenn   eine endliche Projektion ist.
  • Eine Von-Neumann-Algebra   vom Typ II heißt vom Typ II, wenn   eine echt unendliche Projektion ist.
  • Eine Von-Neumann-Algebra   heißt vom Typ III, wenn sie keine von 0 verschiedenen endlichen Projektionen besitzt.

Die Bedingungen für obige Typ-Einteilung sind so angelegt, dass eine Von-Neumann-Algebra höchstens von einem Typ sein kann, es gibt aber Von-Neumann-Algebren, die von keinem Typ im obigen Sinne sind. Der folgende Satz zeigt, dass man jede Von-Neumann-Algebra eindeutig in eine direkte Summe zerlegen kann, so dass alle Summanden einen Typ haben:

Satz von der Typzerlegung: Sei   eine Von-Neumann-Algebra. Dann gibt es eindeutig bestimmte, paarweise orthogonale, zentrale Projektionen  ,  ,   und   mit Summe 1, so dass gilt:

  •   ist vom Typ In oder 0.
  •   ist vom Typ II1 oder 0.
  •   ist vom Typ II oder 0.
  •   ist vom Typ III oder 0.

Es ist   eine direkte Summe von Von-Neumann-Algebren.

Viele dieser Projektionen können natürlich 0 sein,   hat dann keinen entsprechenden Typ-Anteil.   ist eine Von-Neumann-Algebra vom Typ I. Von-Neumann-Algebren   vom Typ I werden manchmal diskret genannt, da sie eine direkte Summe   sind; der Summationsindex durchläuft dabei eine diskrete Menge. Beispiele für Von-Neumann-Algebren vom Typ II oder III sind aufwändiger, sie können unter anderem durch geeignete Gruppenkonstruktionen gewonnen werden oder als Faktoren, die durch Darstellungen von UHF-Algebren, speziell der CAR-Algebra, erzeugt werden. Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen wird eine maßtheoretische Konstruktion von Typ II und Typ III Von-Neumann-Algebren vorgestellt.

Von-Neumann-Algebren vom Typ II heißen auch stetig. Daher wurden in obigem Satz die Bezeichnungen   und   gewählt (c steht für continuous). Bei manchen Autoren gelten auch Typ III Algebren als stetig. Typ III Algebren sind rein unendlich.

Eine Von-Neumann-Algebra ohne Typ III Anteil (das heißt   in obigem Satz) heißt semiendlich.

Im Artikel Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren wird erläutert, wie sich die hier vorgestellte Typklassifizierung bei der Bildung von Tensorprodukten verhält.

Faktoren, Dimensionsfunktion

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Da ein Faktor außer 0 und 1 keine weiteren zentralen Projektionen enthält, hat ein Faktor immer genau einen wohlbestimmten Typ. Typ III Faktoren lassen sich weiter klassifizieren; zu jedem   kann man nach der auf Alain Connes zurückgehenden Connes-Klassifikation Typ IIIλ Faktoren definieren, auf die hier nicht weiter eingegangen wird. Zu jedem Typ gibt es Faktoren, sogar auf separablen Hilberträumen.

Aus dem Vergleichbarkeitssatz folgt sofort, dass in einem Faktor je zwei Projektionen bzgl.   vergleichbar sind. Die minimalen Projektionen fallen mit den abelschen Projektionen zusammen. Betrachtet man nur Faktoren   auf separablen Hilberträumen und ist   die Menge der Projektionen in  , so kann man die Typen über die Ordnungsstruktur von   beschreiben. Es gilt folgender Satz:

Satz (Dimensionsfunktion): Ist   ein Faktor auf einem separablen Hilbertraum, so gibt es eine Funktion   mit folgenden Eigenschaften:

  • Für   gilt  
  • Für   gilt  
  • Für zwei zueinander orthogonale Projektionen   gilt  .
  • Für   gilt:   endlich  .

Die Funktion   ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt und heißt Dimensionsfunktion. Das Bild   ist bis auf einen Skalierungsfaktor eine der folgenden Mengen:

  •   für ein  ;   ist dann vom Typ In.
  •  ;   ist dann vom Typ I.
  •  ;   ist dann vom Typ II1.
  •  ;   ist dann vom Typ II.
  •  ;   ist dann vom Typ III.

Für den Typ I Faktor   erhält man bei der angegebenen Skalierung   für alle  . Das erklärt den Namen Dimensionsfunktion.

Man beachte, dass   eine ordnungstreue Bijektion   induziert. Der Typ eines Faktors ist daher nach obigem Satz durch die Ordnungsstruktur von   festgelegt.