Diskussion:Sechs

Die „Ergebnis 6“-Aufgabe

Eine nicht mehr nur triviale Aufgabe lautet:

„Verknüpfe zweimal eine (einstellige, natürliche) Zahl so mit sich, dass das Ergebnis der Gleichung sechs lautet“

Es zeigt sich schnell, dass mit ausschliesslicher Anwendung von Grundrechenarten nur einige Zahlen so verknüpfbar sind.
Die einfachste Lösung, nur mit der Addition, ist bei „2“ möglich: $2+2+2=6$; für $6+6-6=6$ ist auch die Subtraktion erforderlich.
Mit Zuhilfenahme auch der Multiplikation ist 3 lösbar, mit der Division gelingt dies bei 5, 6 und 7; hingegen können die anderen Zahlen (1, 4, 8, 9 und auch 0) nur mehr mit ‚höherwertigen‘ Rechenoperationen (potenzieren, radizieren und Fakultätbildung) zu diesem Ergebnis gebracht werden.

Es zeigt sich, dass damit alleine bei den ersten zehn natürlichen Zahlen jeweils mehrere Gleichungen dieser Anforderung genügen, und dass darüber hinaus jeder 3-tupel von Zahlen so verknüpfbar ist, dass sich 6 ergibt; somit ist die Mächtigkeit der Lösungsmenge überabzählbar.

Die jeweils einfachsten Lösungen:

1	($1$	$+$	i$1$	$+$	i$1$)$!$	$=6$
2	($2$	$\cdot$	i$2$	$+$	i$2$	$=6$
3	($3$	$\cdot$	i$3$	$-$	i$3$	$=6$
4	($4$	$+$	i$4$	$-$	${\sqrt {4}}$	$=6$
5	($5$	$+$	i$5$	$/$	i$5$	$=6$
6	($6$	$\cdot$	i$6$	$/$	i$6$	$=6$
7	($7$	$-$	i$7$	$/$	i$7$	$=6$
8	($8$	$-$	i$8^{0}$	$-$	i$8^{0}$	$=6$
9	($9$	$+$	i$9$)	$/$	${\sqrt {9}}$	$=6$
0	($0!$	$+$	i$0!$	$+$	i$0!$)$!$	$=6$

Variationen

Mit der Quadratwurzel kann 4 zu 2 und 9 zu 3, mit der Kubikwurzel 8 zu 2 überführt werden. Es sind z.B.

• für 2 auch $2^{2}+{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}$ oder $2^{2}!/2\cdot 2$ etc., mit Schreibweisen wie z.B. ${\sqrt {2}}^{2}$,
• für 4 auch $4!/({\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})$ oder $4+{\sqrt {4}}\cdot 4^{0}$ oder $4+4/{\sqrt {4}}$ oder $4+4^{0}+4^{0}$,
• für 8 auch ${\sqrt[{3}]{8}}+{\sqrt[{3}]{8}}+{\sqrt[{3}]{8}}$ oder $8-{\sqrt {\sqrt {8+8}}}$,
• für 9 auch ${\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {9}}-{\sqrt {9}}$ oder ${\sqrt {9\cdot 9}}-{\sqrt {9}}$ eine kleine Auswahl von vielen möglichen Lösungen.

Da z.B. das Quadrat, die Wurzel und die Fakultät von 1 wieder 1 ergibt, lassen sich Gleichungen sehr komplizieren, ohne tatsächlich etwas zu ändern.
Mittels der Potenzierung mit Null gelingt die Gleichung $(x^{0}+y^{0}+z^{0})!=6$ mit allen beliebigen Zahlen x, y, z; mit der Null je nach der Theorie ob $0^{0}=1$.
Auch mit der Fakultätbildung können einfache Gleichungen komplizierter dargestellt werden, z.B. $4!-4^{2}-{\sqrt {4}}=6=3!+3-3$