Diskussion:Kollinearitätsgleichung

Überarbeiten

Der Kontext bleibt völlig unklar. --Zinnmann d 18:06, 28. Jul 2005 (CEST)

Einfacher

Die Gleichungen im Idealfall für eine Kamera und einen Punkt des Objekts sieht so aus

$x-x_{0}=-c{\frac {R_{11}(X-X_{0})+R_{21}(Y-Y_{0})+R_{31}(Z-Z_{0})}{R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})}}$

$y-y_{0}=-c{\frac {R_{12}(X-X_{0})+R_{22}(Y-Y_{0})+R_{32}(Z-Z_{0})}{R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})}}$

darin ist:

• x,y Koordinaten des Bildpunkts im Bildflach
• x0,y0 Koordinaten der Projektion des optischen Zentrums des Objektivs im Bildflach
• c Kameraconstante (Brennweite des Objektivs)
• X,Y,Z Koordinaten des Objektpunkts
• X0,Y0,Z0 Koordinaten des optischen Zentrum des Objektivs (Projektionszentrum)
• R Rotationsmatrix der Abbildung

Sie können vereinfacht werden zu:

${\bar {x}}=-c{\frac {R_{11}{\bar {X}}+R_{21}{\bar {Y}}+R_{31}{\bar {Z}}}{R_{13}{\bar {X}}+R_{23}{\bar {Y}}+R_{33}{\bar {Z}}}}$

${\bar {y}}=-c{\frac {R_{12}{\bar {X}}+R_{22}{\bar {Y}}+R_{32}{\bar {Z}}}{R_{13}{\bar {X}}+R_{23}{\bar {Y}}+R_{33}{\bar {Z}}}}$

und weiter zu

${\bar {x}}=-c{\frac {(RV)_{1}}{(RV)_{3}}}$

${\bar {y}}=-c{\frac {(RV)_{2}}{(RV)_{3}}}$

mit $V=({\bar {X}},{\bar {Y}},{\bar {Z}})$ Nijdam 22:32, 3. Feb. 2012 (CET)

Erweiterung

Ich möchte folgenden Text im Artikel eintragen, hoffe aber das jemand mir sprachlich behilflich sein will.

Lichtstrahlen fallen durchs Loch einer Lochkamera

Die Punkte P, Q und R warden projiziert auf die Flaeche S durch das Projektionszentrum C

x- und z-Achse der Projektion von P durch das Projektionszentrum C

Es sei xyz ein Koordinatensystem mit die x- und y-Achse im Bildfläche. Der abzubildende Punkt P hat in diesem System die Koordinate $x_{P},y_{P},z_{P}$, das Bild von P die Koordinate x und y , und das Projektionszentrum die Koordinate $x_{0},y_{0},z_{0}$. Wegen der Art der Projektion gibt es ein festes Verhältnis $\lambda$ zwischen $x-x_{0}$ und $x_{0}-x_{P}$, $y-y_{0}$ und $y_{0}-y_{P}$, und die Entfernung des Projektionszentrums vom Bildflaeche $z_{0}=c$ und $z_{P}-z_{0}$.Also:

$x-x_{0}=-\lambda (x_{P}-x_{0})$

$y-y_{0}=-\lambda (y_{P}-y_{0})$

$c=\lambda (z_{P}-z_{0}),$

Auflösung von $\lambda$ aus der Letzte Gleichung und Substitution in die andere zwei Gleichungen liefert das Ergebnis:

$x-x_{0}=-c\ {\frac {x_{P}-x_{0}}{z_{P}-z_{0}}}$

$y-y_{0}=-c\ {\frac {y_{P}-y_{0}}{z_{P}-z_{0}}}$

Der Punkt P ist gewöhnlich bestimmt durch die Koordinate X, Y und Z in irgendeinem Koordinatensystem "ausserhalb" der Kamera. In diesem System hat das Projektionszentrum die Koordinate $X_{0},Y_{0},Z_{0}$. Dieses System kann transformiert werden im System der Kamera mittels eine Rotation und eine Translation. Die Translation beeinflusst die Differenzen der Koordinate nicht, und die Rotation, öfters angedeutet wie Kameratransformation, wird bestimmt von eine 3×3-Matrix R, und führt $(X-X_{0},Y-Y_{0},Z-Z_{0})$ über in:

$x_{P}-x_{0}=R_{11}(X-X_{0})+R_{21}(Y-Y_{0})+R_{31}(Z-Z_{0})$

$y_{P}-y_{0}=R_{12}(X-X_{0})+R_{22}(Y-Y_{0})+R_{32}(Z-Z_{0})$

und

$z_{P}-z_{0}=R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})$

Substitution dieser Expressionen führt zu zwei Gleichungen, die 'Kollinearitätsgleichungen" genannt werden:

$x-x_{0}=-c\ {\frac {R_{11}(X-X_{0})+R_{21}(Y-Y_{0})+R_{31}(Z-Z_{0})}{R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})}}$

$y-y_{0}=-c\ {\frac {R_{12}(X-X_{0})+R_{22}(Y-Y_{0})+R_{32}(Z-Z_{0})}{R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})}}$

External links

• T. Schenk, Introduction to Photogrammetry

Nijdam 18:34, 5. Feb. 2012 (CET)

Überarbeitung der Herleitung inkl. Fehlerkorrektur

Ich schlage vor den Artikel zu strukturieren und einen neuen Abschnitt namens "Herleitung" einzufügen. Ausserdem enthält die Herleitung Fehler: 1. die Variablen x_0 (bzw. y_0) wurden doppelt verwendet. Zum einen als Bildkoordinate und zum anderen als Kamerakoordinate. 2. Die Indizies der Rotationsmatrix stimmen nicht, zumindest nach meinem Verständnis. Der erste Index steht für den Zeilenindex und der zweite Index für die Spalte. Dann würde man im Moment eine Spalte der Rotationsmatrix multiplizieren mit einem Spaltenvektor X, was aber falsch ist. Richtig wäre einen Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor zu multiplizieren. Ich würde das mal in Angriff nehmen, wenn es keine Einwände gibt. Dabei würde ich auch neue Skizzen einfügen wollen und die alten teilweise ersetzen, d.h., eine komplette Überarbeitung vornehmen.--OlafTheScientist (Diskussion) 22:22, 17. Apr. 2020 (CEST)