Descartes-Zahlen

In der Zahlentheorie ist eine Descartes-Zahl eine ungerade Zahl, die eine ungerade vollkommene Zahl wäre, wenn einer ihrer zusammengesetzten Faktoren eine Primzahl wäre. Sie sind nach René Descartes benannt, der beobachtete, dass die Zahl $D=3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}\cdot 22021=(3\cdot 1001)^{2}\cdot (22\cdot 1001-1)=198585576189$ eine ungerade vollkommene Zahl wäre, wenn $22021$ eine Primzahl wäre.

Unter der Annahme, dass $22021$ eine Primzahl ist, gilt nämlich für die Summe der Teiler:

${\begin{aligned}\sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11+1)\cdot (13^{2}+13+1)\cdot (22021+1)=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021=2D.\end{aligned}}$

Da $22021=19^{2}\cdot 61$ keine Primzahl ist, handelt es sich aber um keine ungerade vollkommene Zahl. Es ist eine offene Frage, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt (siehe Artikel Vollkommene Zahl).

Definition

Eine Descartes-Zahl ist definiert als eine ungerade Zahl $n=m\cdot p$, wobei $m$ und $p$ teilerfremd sind und $2n=\sigma (m)\cdot (p+1)$ gilt, wobei $p$ als „unechte“ Primzahl angesehen wird. Das oben angegebene Beispiel ist das einzige, das derzeit bekannt ist.

Wenn $m$ eine ungerade fast vollkommene Zahl ist, d. h. $\sigma (m)=2m-1$ gilt und $2m-1$ als „unechte“ Primzahl angenommen wird, dann ist $n=m\cdot (2m-1)$ eine Descartes-Zahl, denn $\sigma (n)=\sigma (m\cdot (2m-1))=\sigma (m)\cdot 2m=(2m-1)\cdot 2m=2n$.

Wäre $2m-1$ eine Primzahl, wäre $n$ eine ungerade vollkommene Zahl.

Eigenschaften

Banks et al. konnten in 2008 zeigen, dass sich eine nicht durch $3$ teilbare und kubikfreie (d. i. eine nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbare Zahl, vgl. quadratfrei) Descartes-Zahl $n$ schreiben lässt als $n=k\sigma (k)$ für eine ungerade fast vollkommene Zahl $k$ und mehr als eine Million verschiedener Primteiler besitzt.

Zudem zeigten sie, dass die von Descartes entdeckte Zahl $D=3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}\cdot 22021$ die einzige kubikfreie Descartes-Zahl ist, die weniger als sieben verschiedene Primteiler besitzt.

Verallgemeinerung

Eine Möglichkeit, den Begriff der Descartes-Zahl zu verallgemeinern, besteht darin, auch negative Basen zuzulassen. John Voight fand das Beispiel $3^{4}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 19^{2}\cdot (-127)^{1}$.

Siehe auch

• Erdős-Nicolas-Zahlen, eine andere Art von fast vollkommener Zahl