In der Zahlentheorie ist eine Descartes-Zahl eine ungerade Zahl, die eine ungerade vollkommene Zahl wäre, wenn einer ihrer zusammengesetzten Faktoren eine Primzahl wäre. Sie sind nach René Descartes benannt, der beobachtete, dass die Zahl eine ungerade vollkommene Zahl wäre, wenn eine Primzahl wäre.

Unter der Annahme, dass eine Primzahl ist, gilt nämlich für die Summe der Teiler:

Da keine Primzahl ist, handelt es sich aber um keine ungerade vollkommene Zahl. Es ist eine offene Frage, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt (siehe Artikel Vollkommene Zahl).

Definition

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Eine Descartes-Zahl ist definiert als eine ungerade Zahl  , wobei   und   teilerfremd sind und   gilt, wobei   als „unechte“ Primzahl angesehen wird.[1] Das oben angegebene Beispiel ist das einzige, das derzeit bekannt ist.

Wenn   eine ungerade fast vollkommene Zahl ist, d. h.   gilt und   als „unechte“ Primzahl angenommen wird, dann ist   eine Descartes-Zahl, denn  .

Wäre   eine Primzahl, wäre   eine ungerade vollkommene Zahl.

Eigenschaften

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Banks et al. konnten in 2008 zeigen, dass wenn   eine nicht durch   teilbare und kubikfreie (also nicht teilbar durch eine Kubikzahl größer 1, vgl. quadratfrei) Descartes-Zahl ist,   gilt für eine ungerade fast vollkommene Zahl   und   mehr als eine Million verschiedener Primteiler besitzt.[2]

Zudem zeigten sie, dass die von Descartes entdeckte Zahl   die einzige kubikfreie Descartes-Zahl ist, die weniger als sieben verschiedene Primteiler besitzt.

Verallgemeinerung

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Eine Möglichkeit, den Begriff der Descartes-Zahl zu verallgemeinern, besteht darin, auch negative Basen zuzulassen. John Voight fand das Beispiel  .[3]

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Descartes number. Encyclopedia of Mathematics., abgerufen am 20. Mai 2023.
  2. Wiliam D. Banks, Ahmet M. Güloğlu, Wesley C. Nevans, Filip Saidak: Descartes numbers. In: Anatomy of integers. American Mathematical Society. 2008, ISBN 978-0-8218-4406-9 (zbmath.org).
  3. John Voight: On the Nonexistence of Odd Perfect Numbers. (dartmouth.edu [PDF]).