Cheeger-Buser-Ungleichung

In der Mathematik stellt die Cheeger-Buser-Ungleichung eine Beziehung zwischen der isoperimetrischen Ungleichung und dem Spektrum des Laplace-Operators her. Es gibt eine differentialgeometrische Version (für riemannsche Mannigfaltigkeiten) und eine diskrete Version (für Graphen). Sie ist nach Jeff Cheeger und Peter Buser benannt.

Differentialgeometrische VersionBearbeiten

Es sei   eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Wir bezeichnen mit   die Cheeger-Konstante, d. h. die isoperimetrische Konstante. Der kleinste Eigenwert des Laplace-Beltrami-Operators   ist  . Die Cheeger-Ungleichung schätzt die Cheeger-Konstante gegen den zweitkleinsten Eigenwert   ab:

 

Über die variationelle Charakterisierung von   erhält man   und damit ist die Cheeger-Ungleichung unmittelbar äquivalent zu einer oberen Schranke für die Konstante   in der  -Poincaré-Ungleichung

 

für alle glatten Funktionen   mit  .

Die Buser-Ungleichung (auch Ungleichung von Buser-Ledoux) besagt

 ,

wobei   eine untere Schranke für die Ricci-Krümmung sein soll. Mit einer unteren Schranke für die Ricci-Krümmung und einer oberen Schranke für  , oder äquivalent einer unteren Schranke für  , erhält man also eine untere Schranke für  .

Diskrete VersionBearbeiten

Betrachte die Adjazenzmatrix   eines zusammenhängenden  -regulären Graphen  . Die Laplace-Matrix ist definiert als  . Ihr kleinster Eigenwert ist  . Der zweitkleinste Eigenwert   wird als Maß für die Expansivität des Graphen interpretiert. Es gilt nämlich die auf Dodziuk, Alon und andere zurückgehende diskrete Cheeger-Buser-Ungleichung:

 

wobei   die Cheeger-Konstante, d. h. die isoperimetrische Konstante, des Graphen bezeichnet.

LiteraturBearbeiten

Differentialgeometrische Version:

Diskrete Version:

  • Alexander Lubotzky: Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. With an appendix by Jonathan D. Rogawski. Progress in Mathematics, 125. Birkhäuser Verlag, Basel, 1994. ISBN 3-7643-5075-X.

WeblinksBearbeiten