Brown-Maß

Das Brown-Maß (nicht zu verwechseln mit dem brownschen Maß) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, der das Spektralmaß für Operatoren in der Typ-II-Von-Neumann-Algebra verallgemeinert. Der Begriff wurde 1983 von Lawrence G. Brown eingeführt.^[1] Nach seiner Entdeckung fiel der Begriff in Vergessenheit, bis er 1999 von Uffe Haagerup und Flemming Larsen wiederbelebt und seither intensiv untersucht wurde.^[2] Das Brown-Maß findet unter anderem Anwendung in der Theorie der Zufallsmatrizen.

Brown-Maß Bearbeiten

Sei ${\mathcal {M}}$ eine von-Neumann-Algebra (auch $W^{*}$ -Algebra genannt) mit einem treuen, normalen, Spurzustand $\tau$ (englisch faithful, normal, tracial). Für $T\in {\mathcal {M}}$ sei $\mu _{|T|}$ das Spektralmaß von $|T|=(T^{*}T)^{1/2}$ bezüglich $\tau$ .

Man nennt folgende Operatordeterminante Fuglede-Kadison-Determinante

\Delta (T)=\exp \left(\int _{0}^{\infty }\log t\mathrm {d} \mu _{|T|}(t)\right).

Brown bewies, dass ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu _{T}$ auf $\mathbb {C}$ mit kompaktem Träger und der Eigenschaft

\log \Delta (T-\lambda \mathbf {1} )=\int _{\mathbb {C} }\log |z-\lambda |\mathrm {d} \mu _{T}(z),\quad \lambda \in \mathbb {C}

existiert. Dieses Maß $\mu _{T}$ nennt man Brown-Maß.^[3]

Literatur Bearbeiten

Uffe Haagerup und Flemming Larsen: Brown’s spectral distribution measure for R-diagonal elements in finite von Neumann algebras. In: Journal of Functional Analysis. Band 176, Nr. 2, 1999, S. 331–367 (englisch, sciencedirect.com).
Uffe Haagerup und Hanne Schultz: Brown Measures of Unbounded Operators Affiliated with a Finite von Neumann Algebra. 2006, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0605251, arxiv:math/0605251 (englisch).
James A. Mingo und Roland Speicher: Free probability and random matrices. In: Fields Institute Monographs. Vol. 35. Springer Verlag, 2017 (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

↑ L. G. Brown: Lidskii’s Theorem in the Type II Case. In: Geometric methods in operator algebras in Pitman Res. notes in Math. Kyoto 1986, S. 1–35 (englisch).
↑ Uffe Haagerup und Flemming Larsen: Brown’s spectral distribution measure for R-diagonal elements in finite von Neumann algebras. In: Journal of Functional Analysis. Band 176, Nr. 2, 1999, S. 331–367 (englisch).
↑ Uffe Haagerup und Hanne Schultz: Brown Measures of Unbounded Operators Affiliated with a Finite von Neumann Algebra. 2006, S. 1, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0605251, arxiv:math/0605251 (englisch).

[1] L. G. Brown: Lidskii’s Theorem in the Type II Case. In: Geometric methods in operator algebras in Pitman Res. notes in Math. Kyoto 1986, S. 1–35 (englisch).

[2] Uffe Haagerup und Flemming Larsen: Brown’s spectral distribution measure for R-diagonal elements in finite von Neumann algebras. In: Journal of Functional Analysis. Band 176, Nr. 2, 1999, S. 331–367 (englisch).

[3] Uffe Haagerup und Hanne Schultz: Brown Measures of Unbounded Operators Affiliated with a Finite von Neumann Algebra. 2006, S. 1, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0605251, arxiv:math/0605251 (englisch).

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