Brocard-Punkte

Brocard-Punkte sind spezielle Punkte im Dreieck; benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Brocard (1845–1922).

DefinitionBearbeiten

Brocard wurde am bekanntesten für den folgenden Satz:

 
Der erste Brocard-Punkt P

In einem Dreieck   mit den Seiten   gibt es genau einen Punkt   derart, dass die Strecken   der Reihe nach mit den Seiten   den gleichen Winkel   einschließen, d. h., dass die Winkelgleichung   gilt. Dieser Punkt   heißt der erste Brocard-Punkt und der Winkel   heißt der Brocard-Winkel des Dreiecks  .

Es gibt noch einen zweiten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC; das ist derjenige Punkt Q, für den die Strecken AQ, BQ, CQ der Reihe nach mit den Seiten b, c, a gleiche Winkel einschließen, d. h. für den   gilt. Merkwürdigerweise entspricht diesem zweiten Brocard-Punkt derselbe Brocard-Winkel wie dem ersten Brocard-Punkt, d. h. der Winkel   ist dem Winkel   gleich.

Die zwei Brocard-Punkte sind eng miteinander verwandt; in der Tat hängt die Unterscheidung des ersten von dem zweiten davon ab, in welcher Reihenfolge man die Ecken des Dreiecks ABC nimmt! So ist z. B. der erste Brocard-Punkt des Dreiecks ABC gleichzeitig der zweite Brocard-Punkt des Dreiecks ACB.

Vor Brocard wurden sie schon von August Leopold Crelle (1817) und Karl Friedrich Andreas Jacobi (1825) untersucht.

KonstruktionBearbeiten

 
Konstruktion des ersten (P) und des zweiten (Q) Brocard-Punktes

Die eleganteste Konstruktion der Brocard-Punkte, im Folgenden an dem Beispiel des ersten Brocard-Punktes P beschrieben (in der nebenstehenden Abbildung wurden aus Platzgründen die Kreise durch Kreisbogen ersetzt), geht folgendermaßen:

Man schneidet die Mittelsenkrechte ms1 der Seite AB mit der Senkrechten s1 zu der Seite BC durch den Punkt B. Um den Schnittpunkt zeichnet man einen Kreis so, dass er durch den Punkt B geht. Dann geht dieser Kreis auch durch den Punkt A und berührt die Seite BC im Punkt B. Analog konstruieren wir einen Kreis durch die Punkte C und B, der die Seite CA im Punkt C berührt, und einen Kreis durch die Punkte A und C, der die Seite AB im Punkt A berührt. Diese drei Kreise haben einen gemeinsamen Punkt P – den ersten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC!

Die drei soeben konstruierten Kreise werden auch als Beikreise des Dreiecks ABC bezeichnet. Analog konstruiert man den zweiten Brocard-Punkt Q (grün gestrichelte Linien).

Formeln für den Brocard-WinkelBearbeiten

Schreibt man   für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, so lässt sich der Brocard-Winkel mit folgenden Formeln berechnen:

  •  .
  •  
  •  

Für jedes Dreieck gilt  .

EigenschaftenBearbeiten

KoordinatenBearbeiten

Erster Brocard-Punkt
Trilineare Koordinaten  
Baryzentrische Koordinaten  
Zweiter Brocard-Punkt
Trilineare Koordinaten  
Baryzentrische Koordinaten  

Dritter Brocard-PunktBearbeiten

Gelegentlich wird der Punkt mit trilinearen Koordinaten   als „dritter“ Brocard-Punkt bezeichnet. Er hat die Kimberling-Nummer   und die baryzentrischen Koordinaten  , damit schließt er den Kreis mit den ersten beiden Brocard-Punkten mit den baryzentrischen Koordinaten   bzw.  .

LiteraturBearbeiten

  • Ross Honsberger Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, 1995, Kapitel 10 (Brocard Points)
  • Roger A. Johnson Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, Houghton Mifflin 1929, Neuauflage als Advanced Euclidean Geometry, Dover 1960
  • Julian Coolidge A treatise on the geometry of the circle and the square, New York, Chelsea 1971

WeblinksBearbeiten