Borel-Cantelli-Lemma

mathematischer Satz

Das Borel-Cantelli-Lemma, manchmal auch Borel’sches Null-Eins-Gesetz, (nach Émile Borel und Francesco Cantelli) ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es ist oftmals hilfreich bei der Untersuchung auf fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen und wird daher für den Beweis des starken Gesetzes der großen Zahlen verwendet. Eine weitere, veranschaulichende Anwendung des Lemmas ist das Infinite-Monkey-Theorem. Das Lemma besteht aus zwei Teilen, wobei der „klassische“ Satz von Borel-Cantelli nur den ersten Teil enthält. Der zweite ist eine Erweiterung und stammt von Paul Erdős und Alfréd Rényi.

Aussage des LemmasBearbeiten

FormulierungBearbeiten

Das Borel-Cantelli-Lemma besagt Folgendes:[1][2][3]

Es sei   eine unendliche Folge von Ereignissen eines Wahrscheinlichkeitsraums  .

Dann gilt:

  1. Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der   endlich, so ist die Wahrscheinlichkeit des Limes superior der   gleich 0.
  2. Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der   unendlich und sind die Ereignisse   wenigstens paarweise unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit des limes superior der   gleich 1.

Da die Aussage von der Form ist, dass die Wahrscheinlichkeit einer Menge, hier des limes superior, entweder 0 oder 1 ist, zählt das Borel-Cantelli-Lemma zu den 0-1-Gesetzen.

Formale AussageBearbeiten

Symbolisch: Für

 
 

gilt:

  1.  
  2.   und die   sind paarweise unabhängig  

Zum BeweisBearbeiten

Die klassische Aussage 1. kann so bewiesen werden: Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Ereignis   mit   eintritt, ist nicht größer als   und strebt wegen der vorausgesetzten Konvergenz der Summe gegen 0 für  . Der Limes superior der   ist das Ereignis, dass unendlich viele   eintreten, und ist ein Teilereignis von jedem der im vorigen Satz erwähnten Ereignisse, und seine Wahrscheinlichkeit ist somit nicht größer als sämtliche Glieder einer Nullfolge, also 0, was zu beweisen war.

BemerkungenBearbeiten

Die Umkehrung von Aussage (1) ist nicht wahr. Betrachte hierzu den Wahrscheinlichkeitsraum   und die Mengenfolge   mit  . Es gilt  , daher ist  , obwohl  . Dies liefert auch gleich ein Beispiel dafür, dass die paarweise Unabhängigkeit in (2) unerlässlich ist.

AnwendungBearbeiten

Aus dem Lemma von Borel-Cantelli ergibt sich folgendes nützliche Kriterium für die fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen:[1][3]

Sei   eine Zufallsvariable und   eine Folge von Zufallsvariablen über einem gewissen Wahrscheinlichkeitsraum  .

Wenn   für jedes  , dann gilt   fast sicher.

Gegenstück zum Borel-Cantelli LemmaBearbeiten

Ein nützliches „Gegenstück“ zum Borel-Cantelli Lemma ersetzt die paarweise Unabhängigkeit der  , die in der zweiten Version vorausgesetzt wird, durch eine Monotoniehypothese für alle hinreichend großen Indizes k. Dieses Lemma besagt: [4]

Sei   eine Folge von Ereignissen, die   für alle hinreichend große k erfüllt, und sei   das komplementäre Ereignis zu  . Dann treten unendlich viele   mit Wahrscheinlichkeit 1 ein dann und nur dann, wenn eine strikt monoton wachsende Folge   existiert mit

 

Dieses Resultat ist hilfreich bei Problemen, die Eintrittswahrscheinlichkeiten betreffen, wie z. B. die Frage, ob ein stochastischer Prozess mit Wahrscheinlichkeit 1 in eine gewisse Zustandsmenge eintritt. Die Zustandsmenge wird als absorbierend definiert, was die Monotonie impliziert, und eine geschickte Wahl der Folge   liefert dann oft schnell die Antwort.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2002, S. 73 ff
  2. A. Rényi: Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1971, S. 252, 326 ff
  3. a b A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 265 ff
  4. : F. T. Bruss: Counterpart Borel-Cantelli Lemma 1980, S. 1094 ff