Bloch-Funktion

Darstellung einer Isofläche des Betragsquadrates einer Blochwellenfunktion in Silizium

Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist eine allgemeine Form für die Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem periodischen Potential, z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper.

Die Form dieser Wellenfunktionen wird durch das Bloch-Theorem festgelegt, welches ein Spezialfall des Floquet-Theorems ist:

Satz: Es sei ein periodisches Potential mit der Periodizität gegeben:

Dann existiert eine Basis von Lösungen der stationären Schrödingergleichung der Form

mit

  • der Eulerschen Zahl
  • der imaginären Einheit
  • einem beliebigen Vektor
  • einer vom Parameter abhängigen periodischen Funktion mit Periode :

Die Periodizität des Potentials überträgt sich also auf und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des betrachteten Teilchens im Potential. Für ein Elektron in so einem Energieeigenzustand ist daher die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in jeder Elementarzelle gleich groß und zeigt den gleichen räumlichen Verlauf. In einem kristallinen Festkörper ist die Periodizität gegeben durch das Kristallgitter, ist ein Gittervektor. Ist das Potential zeitunabhängig, kann als reell angesetzt werden.

AussagenBearbeiten

Nach dem Bloch-Theorem sind die Einteilchen-Energieeigenzustände über Wellenvektor   parametrisiert, wobei   alle reelle Zahlen durchlaufen können. Für eine vollständige Parametrisierung genügen schon die Wellenvektoren   der ersten Brillouin-Zone (  etc.). Denn eine Blochfunktion   bleibt unverändert, wenn   durch  , mit einem beliebigen Vektor   des reziproken Gitters, ersetzt wird und gleichzeitig die Funktion   durch  . Es gilt  , denn per Definition ist  , und damit ist auch die Funktion   periodisch wie  . Das ermöglicht bei der Beschreibung von Wellenfunktionen und Gitter-Energien, vom erweiterten Zonenschema zum reduzierten Zonenschema überzugehen.

Zur Beschreibung aller Einteilchen-Wellenfunktionen des Kristalls  , insbesondere der gitterperiodischen Funktion  , im reduzierten Zonenschema werden die Beiträge des gesamten reziproken Gitters d. h. aller äquivalenten reziproken Gittervektoren benötigt, sodass ein weiterer Index n eingeführt werden muss. Dieser vermittelt gerade über den reziproken Gittervektor   den Beitrag der n-ten Brillouin-Zone zum Energiespektrum und zur Wellenfunktion. Da   aber diskret ist, bildet sich für jedes   ein diskretes Energiespektrum aus, das sich als Funktion von   innerhalb der ersten Brillouin-Zone kontinuierlich verändert. Es bilden sich somit Energiebänder aus:

  bzw.  .

Das ist die Grundlage der in der Festkörperphysik verbreiteten Darstellung der Bandstruktur im Bändermodell.

Wellenvektor   und n, genannt Bandindex, sind daher geeignete Indizes zur Bezeichnung der Einteilchen-Energieeigenzustände und Einteilchen-Wellenfunktion des Gitters. Der Wellenvektor wird auch als Quasiimpuls oder Kristallimpuls bezeichnet. Der Name ist damit begründet, dass im Falle einer schwach veränderlichen Funktion   der Impuls des Teilchens näherungsweise durch   gegeben ist, so dass der Kristallimpuls noch näherungsweise die Eigenschaften des Impulses hat, z. B. bei der Impulserhaltung bei Stößen oder Emission und Absorption von Photonen. Wenn  , gilt das exakt.

Vereinfachte HerleitungBearbeiten

Da das Potential   invariant gegenüber einer Translation um einen Vektor   ist (in einem Kristall ist   ein Gittervektor), ist es auch der Hamiltonoperator   des Teilchens. Eine Eigenfunktion, die um die Strecke   verschoben wird, ist daher sicher wieder eine Eigenfunktion zur selben Energie. Wenn keine Entartung vorliegt, beschreibt sie denselben Zustand wie vor der Translation, kann sich von der unverschobenen Funktion also nur um einen festen Phasenfaktor   unterscheiden.

 

Bei n-fach wiederholter Ausführung der Translation multiplizieren sich die Phasenfaktoren ( ), während sich die Strecken addieren ( ).

Da aber die Teilchendichte erhalten bleiben soll:

 ,

muss   allgemein gegeben sein durch

 

mit einem geeigneten festen Vektor  . Für eine aus   gebildete Funktion   folgt dann einfache Periodizität  . Also ist  

LiteraturBearbeiten

  • Felix Bloch: Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern. In: Zeitschrift für Physik A, 52, 1929, S. 555-600, doi:10.1007/BF01339455.
  • Hartmut Haug, Stephan Koch: Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors. Fourth Edition. World Scientific, Singapore / River Edge / London, S. 29 ff.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1&2. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1999.
  • Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. 14. Auflage. Oldenbourg-Verlag, München 2006, S. 187 f.
  • Harald Ibach, Hans Lüth: Festkörperphysik. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1999, S. 160 ff.