Lineares Zeitinvariantes System

Lösung DGL Herleitung für 1-Größen-System

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!507:Variation_der_Konstanten

http://math-grain.de/download/m2/dgl/variation/variation-konst-1.pdf

https://www.ableitungsrechner.net/


Zustandsraumdarstellung#Allgemeine Lösung im Zeitbereich

Gewöhnliche Differentialgleichung

Lineare gewöhnliche Differentialgleichung verweist auf Homogene lineare Differentialgleichung

Homogene lineare Differentialgleichung OHNE Herleitung ! Hier sollte die Herleitung sein.

Inhomogene lineare Differentialgleichung

Variation der Konstanten Lösung der inhomogenen DGL erster Ordnung

Matrixexponential MIT Herleitung (nicht verstanden) und Beispiel


Dynamisches System (Systemtheorie)

Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)

Laplace-Transformation

Übertragungsfunktion Systemanalyse

Tabelle ...

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Berechnung

der diskreten Parameter

   
Exakte Berechnung (aus Vergleich der Lösungsformeln)    
Lineare Näherung (nach Linearisierung der e-Funktion)    
Bilineare Näherung (Tustin-Formel, Trapezregel)    

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Gegeben sei eine Differentialgleichung, wie sie z.B. für lineare zeitinvariante Systeme oder in der Zustandsraumdarstellung für dynamische Systeme Verwendung findet:

 

Die zugehörige homogene Differentialgleichung   hat folgende Lösung:

 

Die Lösung der inhomogenen DGL erfolgt mit der Methode Variation der Konstanten. Dazu wird auf die Lösung der homogenen DGL aufgebaut. Die Lösungs-Konstante   wird "variiert" und im folgenden C(t) genannt:

Lösungs Ansatz:

 

Ableitung mit Kettenregel:

 

Beides eingesetzt in die ursprüngliche inhomogene DGL und durch Multiplikation mit  nach   aufgelöst:

 
 
 

Beide Seiten dieser Gleichung werden integriert. Der linke Term ergibt sich aus der Überlegung, dass die Ableitung von   ja   ergibt:

 .

Auflösung nach   und Verwendung von  :

 
 

Eingesetzt in obigen Lösungs-Ansatz  ergibt sich das Ergebnis nach einigen Umformungen:

 
 
 
 

Die Lösung für die inhomogene DGL der Zustandsraumdarstellung ergibt sich schließlich zu:

 

##############


https://www.mb.uni-siegen.de/mrt/lehre/dr/skript_dr.pdf S 35 https://www.mb.uni-siegen.de/mrt/lehre/dr/skript_dr.pdf

http://math-grain.de/download/m2/dgl/variation/variation-konst-1.pdf

https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-a-zeitkontinuierliche-signale-und-systeme/darstellung-von-systemen-im-zustandsraum/loesung-von-zustandsgleichungen/loesung-von-zustandsgleichungen-ueber-die-transitionsmatrix.html. Hier stehts drin, ist aber nicht erklärt !!!

Matrixexponential#Anwendungen. ok, t ist nicht tau, daher kann der Faktor in das Integral reingezogen werden !!! Siehe inhomogener Fall ... jetzt passt es








Die homogene lineare Differentialgleichung

 

Die homogene Lösung ist:

  .


Die inhomogene lineare Differentialgleichung

 

Ansatz nach "Variation der Konstanten", ausgehend von der homogenen Lösung:

 

Ableitung:

 


Beides eingesetzt in die inhomogene DGL:

 

 

 


Durch Integration auf beiden Seiten dieser Gleichung folgt:

 

Lässt man diese Integrationskonstante C1 weg, dann erhält man die spezielle Lösung:

Eingesetzt in den ursprünglichen Ansatz:

 

 


Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

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Wir betrachten die Differentialgleichung

 .

Die zugehörige homogene Gleichung   hat die Lösungen  . Wir wählen deshalb den Ansatz

 ,

woraus sich für   die Differentialgleichung

 

mit Lösung   ergibt. Die Lösungen der inhomogenen Gleichung sind also von der Form

 .

Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

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Die homogene lineare Differentialgleichung

 

mit Anfangswert   hat die eindeutige Lösung

  .

Für den Fall, dass a konstant ist:

  .



Die inhomogene lineare Differentialgleichung

 

mit Anfangswert   hat die homogene Lösung

  .

Für den Fall, dass a konstant ist:

  .

Partikuläre Lösung

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Ausgehend von   und   folgt:

 

Die partikuläre Lösung sucht man in der Form:

 

wobei   ein unbekannter Funktionsvektor mit   ist. Aus den beiden oberen Gleichungen folgt:

 

Damit kann   bestimmt werden:

 

Man erhält durch Integration unter Zuhilfenahme der Eigenschaften der Fundamentalmatrix:

 

Die Lösung einer linearen zeitinvarianten Differenzialgleichung lautet: