In dieser Sektion soll eine Auswahl an besonders schönen und mehr oder weniger harten Integralen entstehen, welche entweder bereits gezeigt wurden oder der Beweis angestrebt wird. Natürlich lassen sich auch hier wieder, wie bei den Reihen , verschiedene Klassen angeben.
Die Integrale wurden aus dem ArtikelCollection of formulae for Euler's constant.
[1] [2] Skraemer (Diskussion ) 23:29, 6. Dez. 2013 (CET)
∫
0
∞
e
−
t
log
t
d
t
=
−
γ
=
Γ
′
(
1
)
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t}\log t\,dt=-\gamma =\Gamma ^{'}(1)}
∫
0
∞
e
−
t
log
2
t
d
t
=
γ
2
+
ζ
(
2
)
=
Γ
(
2
)
(
1
)
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t}\log ^{2}t\,dt=\gamma ^{2}+\zeta (2)=\Gamma ^{(2)}(1)}
∫
0
∞
e
−
t
log
3
t
d
t
=
−
γ
3
−
γ
π
2
2
−
2
ζ
(
3
)
=
Γ
(
3
)
(
1
)
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t}\log ^{3}t\,dt=-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}-2\zeta (3)=\Gamma ^{(3)}(1)}
γ
=
−
∫
0
1
log
log
1
t
d
x
=
∫
0
∞
e
−
t
(
1
1
−
e
−
t
−
1
t
)
d
t
=
∫
0
∞
(
1
e
t
−
1
−
1
t
e
t
)
d
t
{\displaystyle \gamma =-\int \limits _{0}^{1}\log \log {\frac {1}{t}}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t}{\bigg (}{\frac {1}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}-{\frac {1}{t}}{\bigg )}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{te^{t}}}\right)\,dt}
γ
+
2
log
2
=
−
4
π
−
1
2
⋅
∫
0
∞
e
−
t
2
log
t
d
t
{\displaystyle \gamma +2\log 2=-4\pi ^{-{\tfrac {1}{2}}}\cdot \int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t^{2}}\log t\,dt}
log
(
2
π
)
−
γ
−
1
2
=
∫
0
∞
(
1
1
−
e
−
t
−
1
t
)
2
d
x
{\displaystyle \log(2\pi )-\gamma -{\frac {1}{2}}=\int \limits _{0}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}-{\frac {1}{t}}{\bigg )}^{2}\,dx}
Das Integral muss richtig so sein:
log
(
2
π
)
−
γ
−
1
2
=
∫
0
∞
(
e
−
t
1
−
e
−
t
−
1
t
)
2
d
t
=
∫
0
∞
(
1
e
t
−
1
−
1
t
)
2
d
t
{\displaystyle \log(2\pi )-\gamma -{\frac {1}{2}}=\int \limits _{0}^{\infty }{\bigg (}{\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}-{\frac {1}{t}}{\bigg )}^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}{\bigg )}^{2}\,dt}
Hierbei hat der Anteil
1
e
t
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{e^{t}-1}}}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
1
t
{\displaystyle {\frac {1}{t}}}
1
e
t
−
1
=
1
t
−
1
2
+
1
12
t
−
1
720
t
3
+
.
.
.
{\displaystyle {\frac {1}{e^{t}-1}}={\frac {1}{t}}-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}t-{\tfrac {1}{720}}t^{3}+...}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
∫
(
1
e
t
−
1
−
1
t
)
d
x
=
log
(
e
t
−
1
)
−
t
−
log
t
{\displaystyle \int {\bigg (}{\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}{\bigg )}\,dx=\log(e^{t}-1)-t-\log t}
Ein ähnliches Integral lautet:
∫
0
∞
(
1
e
t
−
1
−
1
t
e
k
t
)
d
t
=
γ
+
log
k
,
k
>
0
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{te^{kt}}}{\bigg )}\,dt=\gamma +\log k,\quad k>0}
γ
=
∫
0
1
(
1
t
+
1
log
(
1
−
t
)
)
d
t
=
∫
0
∞
(
1
1
+
t
−
e
−
t
)
d
t
t
=
∫
0
∞
(
1
1
+
t
2
−
cos
t
)
d
t
t
{\displaystyle \gamma =\int \limits _{0}^{1}{\bigg (}{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\log(1-t)}}{\bigg )}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{1+t}}-\mathrm {e} ^{-t}{\bigg )}\,{\frac {dt}{t}}=\int \limits _{0}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{1+t^{2}}}-\cos t{\bigg )}\,{\frac {dt}{t}}}
Das 2.Integral stammt von Dirichlet und passt schlecht zu dem logarithmischen. Das 3.folgt aus dem 2. mittels Cauchyschem Integralsatz bei Integration über ein Ursprungsdreieck. --Skraemer (Diskussion ) 23:29, 6. Dez. 2013 (CET)
γ
=
∫
−
∞
∞
log
(
1
+
e
−
t
)
e
t
t
2
+
π
2
d
t
=
1
2
+
2
∫
0
∞
t
d
t
(
1
+
t
2
)
(
e
2
π
t
−
1
)
=
∫
0
1
∫
0
1
1
−
x
(
1
−
x
y
)
log
(
x
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \gamma =\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\log(1+\mathrm {e} ^{-t})\mathrm {e} ^{t}}{t^{2}+\pi ^{2}}}\,dt={\frac {1}{2}}+2\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {t} \,dt}{(1+t^{2})(\mathrm {e} ^{2\pi t}-1)}}=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1-x}{(1-xy)\log(xy)}}\,dxdy}
γ
=
1
−
∫
0
1
1
1
+
t
(
∑
k
=
1
∞
t
2
k
)
d
t
=
1
−
∫
0
1
1
+
2
t
1
+
t
+
t
2
(
∑
k
=
1
∞
t
3
k
)
d
t
{\displaystyle \gamma =1-\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+t}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }t^{2^{k}}\right)\,dt=1-\int \limits _{0}^{1}{\frac {1+2t}{1+t+t^{2}}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }t^{3^{k}}\right)\,dt}
H
k
=
γ
+
ψ
(
k
+
1
)
{\displaystyle H_{k}=\gamma +\psi (k+1)}
ψ
(
x
)
=
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)={\frac {\Gamma ^{'}(x)}{\Gamma (x)}}}
∑
k
=
1
∞
k
!
ψ
(
k
+
1
)
(
−
x
)
k
k
!
=
1
1
+
x
(
γ
x
−
log
(
1
+
x
)
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k!\psi (k+1){\frac {(-x)^{k}}{k!}}={\frac {1}{1+x}}\left(\gamma x-\log(1+x)\right)}
∫
0
∞
x
s
−
1
1
+
x
log
(
1
+
x
)
d
x
=
−
π
sin
(
π
s
)
(
γ
+
ψ
(
1
−
s
)
)
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{1+x}}\log(1+x)\,dx=-{\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}\left(\gamma +\psi (1-s)\right)}
∫
0
∞
(
γ
+
log
(
1
+
x
)
)
x
(
1
+
x
)
d
x
=
π
(
γ
+
2
log
2
)
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\left(\gamma +\log(1+x)\right)}{{\sqrt {x}}(1+x)}}\,dx=\pi \left(\gamma +2\log 2\right)}
Bei diesem Integral tritt
γ
{\displaystyle \gamma }
∫
0
∞
c
x
(
1
+
x
)
d
x
=
c
π
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {c}{{\sqrt {x}}(1+x)}}\,dx=c\pi }
∫
0
∞
log
(
1
+
x
)
x
(
1
+
x
)
d
x
=
2
π
log
2
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\log(1+x)}{{\sqrt {x}}(1+x)}}\,dx=2\pi \log 2}
Skraemer (Diskussion ) 20:30, 22. Nov. 2013 (CET)
∫
0
∞
x
s
−
1
{
λ
(
0
)
−
x
1
!
λ
(
1
)
+
x
2
2
!
λ
(
2
)
−
.
.
.
}
d
x
=
Γ
(
s
)
λ
(
−
s
)
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}{\bigg \lbrace }\lambda (0)-{\frac {x}{1!}}\lambda (1)+{\frac {x^{2}}{2!}}\lambda (2)-...{\bigg \rbrace }\,dx=\Gamma (s)\lambda (-s)}
Li
s
(
z
)
=
∑
k
=
1
∞
z
k
k
s
=
z
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
−
z
d
x
{\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}={\frac {z}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-z}}\,dx}
Theorem. Sei
v
∈
C
{\displaystyle \textstyle {v\in \mathbb {C} }}
ℜ
(
v
)
>
0
{\displaystyle \textstyle {\Re (v)>0}}
0
<
t
<
π
{\displaystyle \textstyle {0<t<\pi }}
∫
0
∞
x
v
−
1
d
x
cosh
(
x
)
−
cos
(
x
)
=
2
Γ
(
v
)
sin
t
∑
k
=
1
∞
sin
(
k
t
)
k
v
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{v-1}\,dx}{\cosh(x)-\cos(x)}}={\frac {2\Gamma (v)}{\sin t}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(kt)}{k^{v}}}}
∫
0
∞
x
v
−
1
d
x
cosh
(
x
)
+
cos
(
x
)
=
2
Γ
(
v
)
sin
t
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
sin
(
k
t
)
k
v
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{v-1}\,dx}{\cosh(x)+\cos(x)}}={\frac {2\Gamma (v)}{\sin t}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {\sin(kt)}{k^{v}}}}
∫
0
∞
cos
(
a
x
)
−
cos
(
b
x
)
x
d
x
=
log
b
a
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\cos(ax)-\cos(bx)}{x}}\,dx=\log {\frac {b}{a}}}
∫
0
1
log
(
x
)
log
(
1
+
x
)
d
x
=
2
−
η
(
2
)
−
2
log
2
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\log(x)\log(1+x)\,dx=2-\eta (2)-2\log 2}
∫
0
1
log
(
x
)
log
(
1
−
x
)
d
x
=
2
−
ζ
(
2
)
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\log(x)\log(1-x)\,dx=2-\zeta (2)}
