Benutzer:JWmuench/Mathematik/Reihen

Eigene Arbeiten über Reihen

Reihen von Logarithmen

Ausgehend von der Grundreihe $\log 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...$ lässt sich die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe durch einige Tricks erheblich verbessern. Als erstes werden zwei aufeinanderfolgende Glieder zusammengefasst.

$\log 2=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(2k+1)}}$ und mit $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=1$

Es ist weiterhin

$\log 2=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{3^{2k+1}(2k+1)}}$

$\log 3=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2k+1}(2k+1)}}$

$\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {1}{k(k+1)}}=1-\log 2$

$\log 2=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(2k+1)}}$

Reihen mit der riemannschen Zetafunktion

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}(k+1)}}=\zeta (2)-1$

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)^{2}}}=2-\zeta (2)$

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}(k+1)^{2}}}=2\zeta (2)-3$

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)^{3}}}=3-\zeta (2)-\zeta (3)$

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)^{4}}}=4-[\zeta (2)+\zeta (3)+\zeta (4)]$

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}(k+1)^{3}}}=3\zeta (2)+\zeta (3)-6$

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}(k+1)^{4}}}=4\zeta (2)+2\zeta (3)+\zeta (4)-10$