Benutzer:Herbertweidner/Stehwellenverhältnis Alternativentwurf

Das Stehwellenverhältnis (englisch standing wave ratio, SWR) ist das Verhältnis von Maximalspannung zu Minimalspannung, die auf einem Wellenleiter, beispielsweise einem Koaxialkabel gemessen werden können. Dabei sind diese (Effektiv-)Spannungen je nach Leiterart zwischen Schirm und Signal oder zwischen zwei gegensätzlich gepolten Adern zu messen. Ursache ist meist die teilweise Reflexion von Wellenenergie am Kabelende oder an einer Verbindung.

Bei einem SWR ≈ 1 wird fast die gesamte eingespeiste Leistung sofort am Kabelende vom Verbraucher absorbiert und zunächst nur wenig zur Quelle reflektiert. Bei einem grossen SWR wird ein hoher Anteil der eingespeisten Leistung am Verbraucher reflektiert und über den Wellenleiter zur Quelle zurück geleitet. Abhängig von deren Impedanz wird dieser Anteil dort absorbiert oder wieder teilweise zum Verbraucher reflektiert. Dann erzeugt ein grosses SWR in Datenkabeln störende Signalreflexionen.

Historisches

Dieses Stehwellenmessgerät wurde 1888 vom Physiker Ernst Lecher entwickelt, um Wellenlängen und Frequenzen zu messen. Die Abbildung stammt aus einem Katalog für wissenschaftliche Laborausrüstung aus dem Jahr 1904 und ist für Wellenlängen um 1 m geeignet.

Kurz nach dem Nachweis der elektromagnetischen Wellen durch Heinrich Hertz entdeckte Ernst Lecher, dass die Spannung zwischen zwei längeren, parallelen Drähten, die von einem Hertzschen Oszillator gespeist werden, nicht überall gleich gross ist. Bei hinreichend hoher Leistung kann man durch Annäherung von Geißlerröhren in periodischen Abständen maximale Spannungsunterschiede U_max messen. Genau mittig dazwischen ist die Spannung Null, weshalb man beide Leitungen dort auch problemlos kurzschließen kann.

Die Wellenlänge der ursprüglichen Messungen dürfte bei 1 m gelegen haben und entspricht dem heutigen UKW-Bereich; in den Nachfolgejahren wurde nachgewiesen, dass die entdeckten Gesetzmässigkeiten unverändert für alle anderen Wellenlängenbereiche gelten. Später entdeckte man mit dieser Anordnung, dass diese "Mittenspannung" nicht mehr Null ist, sondern einen minimalen Wert U_min annimmt, wenn man das Leitungsende mit einem Ohmschen Widerstand belastet. Durch Wahl eines ganz bestimmten Wert dieses Lastwiderstandes lässt sich sogar erreichen, dass U_max = U_min ist. Diesen Wert bezeichnet man als den Wellenwiderstand der Leitung.

Die periodische Spannungsänderung bezeichnete man (wie beim Kundtschen Staubrohr) als Stehende Wellen. Für das Spannungsverhältnis wurde der Begriff Stehwellenverhältnis SWR geprägt.

$SWR={\frac {U_{max}}{U_{min}}}$

Übersicht

Wellenleiter sind symmetrische Zweitore mit vier Anschlüssen (veralteter Ausdruck: Vierpol), bei dem je zwei Anschlüsse zu einem so genannten Tor zusammengefasst werden. Sie sind nicht rückwirkungsfrei (das heißt, eine Änderung des Lastwiderstandes wirkt sich auf die Eingangsgrößen aus) und im Gegensatz zu einem Transformator ist diese Änderung - abhängig von der Kabellänge - nur mit zeitlicher Verzögerung am Eingang messbar (siehe Impulsfahrplan). Weil auch der Wellenwiderstand des Kabels das Ergebnis beeinflusst, muss die genaue Berechnung mit komplexen Zahlen und den komplizierten Formeln der Leitungstheorie erfolgen.

Für praxisnahe Anwendungen übersieht man notgedrungen viele Details des exakten Verfahrens und verwendet das leicht messbare Stehwellenverhältnis (SWR), obwohl es nur begrenzte Aussagekraft besitzt. Dieser einzige Zahlenwert ignoriert beispielsweise, dass

• bei verlustarmen Wellenleitern das SWR bedeutungslos ist.
• das SWR bei gewissen Kabellängen bedeutungslos ist, bei anderen aber zu falschen Aussagen führt.
• das SWR bei hoher Signaldämpfung in einem verlustbehaftetem Kabel vom Ort der Messung abhängt.

Stehwellenverhältnis von Impulsen und kurzen Wellenpaketen

→ Hauptartikel: Zeitbereichsreflektometrie

Teilweise Reflexion und Transmission eines Impulses an der sprunghaften Änderung der Wellenimpedanz.

Impulse bei richtig belastetem Kabel. Höhenunterschied und Abstand der Impulse zeigen die Kabeldämpfung und -länge.

Am einfachsten lässt sich das SWR mit einem Einzelpuls wie im nebenstehenden Bild erklären. An der Sprungstelle der Impedanz wird ein Teil der von links eintreffenden Energie nach links zurück reflektiert. Die nach rechts weiter laufende Energie wird als Transmission bezeichnet.

An einem Messpunkt nahe dem linken Bildrand kann man (mit einem Oszilloskop) zu unterschiedlichen Zeiten die Amplitude U_Vor des vorlaufenden Signals und später die Amplitude U_Refl des reflektierten Signals messen. Das ist die Grundlage der Zeitbereichsreflektometrie. Im gezeigten Beispiel tritt eine Polaritätsumkehr auf, weil die Impedanz rechts von der Sprungstelle kleiner ist als links (Kurzschlusscharakteristik). Wäre die Impedanz rechts größer als links, hätten alle Impulse das gleiche Vorzeichen (Leerlaufcharakteristik).

Dem Bild entnimmt man U_Refl ≈ -0,5·U_Vor, an der Sprungstelle wird also 25 % der eintreffenden Leistung reflektiert. Das SWR berechnet man mit den Beträgen der Spannungen und es ergibt sich SWR = 3. Bei ausreichendem Zeitabstand aufeinander folgender Impulse kommt es an keinem Ort des Wellenleiters zu einer Überlagerung von vor- und rücklaufendem Impuls.

Mit kurzen Pulsen lässt sich besonders einfach messen, ob unerwünschte Reflexionen auftreten. Dazu erzeugt ein Impulsgenerator eine Folge von sehr kurzen Rechteckimpulsen von jeweils etwa 20 ns Dauer, die in so großem Abstand folgen, dass die Echos aller früheren Impulse abgeklungen sind. Die Impulse werden über einen relativ großen Widerstand (etwa 1000 Ω) an den Kabelanfang angeschlossen und an beiden Kabelenden misst ein Oszilloskop mit kapazitätsarmen Tastköpfe die Impulshöhe. Wenn das Kabelende mit dem korrekten ohmschen Widerstand (meist 50 Ω) belastet ist, werden keine Impulse reflektiert. Andernfalls kann man der Polarität entnehmen, ob der Lastwiderstand zu groß oder zu klein ist. Dann treten auch Mehrfachimpulse. Diese Messung ist sinnlos, falls eine Antenne angeschlossen ist, weil das Spektrum des Pulses die Bandbreite jeder Antenne bei weitem übertrifft und deshalb mit Sicherheit Fehlanpassung signalisiert wird. Ferner können Funkstörungen entstehen.

Stehwellverhältnis von kontinuierlichen Wellen

Bei einem Dauersignal konstanter Frequenz überlagern sich einlaufende und reflektierte Welle längs des gesamten Wellenleiters, wenn ein Teil der Energie reflektiert wird. Die entstehende Interferenz der gegenläufigen Wellen bewirkt an gewissen Stellen konstruktive Interferenz, wodurch die messbare Effektivspannung besonders hohe Werte erreicht. Folgende Längenangaben werden immer vom Kabelende in Richtung Sender gemessen:

• Wenn der Lastwiderstand größer als der Wellenwiderstand des Kabel ist, misst man bei x =0 (also am Kabelende) ein Spannungsmaximum U_Max, ebenso bei n·λ/2 mit n = 1, 2, 3,..
• Dazwischen, also bei ungeraden Vielfachen von λ/4 misst man wegen destruktiver Interferenz besonders geringe Spannungen U_Min.
• Wenn der Lastwiderstand kleiner als der Wellenwiderstand des Kabel ist, kehren sich die Verhältnisse um. Bei kurzgeschlossenem Kabelende misst man dort selbstverständlich U = 0 und auf dem Kabel bildet sich eine Stehende Welle mit SWR = ∞.

Bei kontinuierlichen Wellen gibt es keinen Ort auf dem Wellenleiter, an dem sich (analog zu Einzelpulsen) U_Vor und U_Refl getrennt messen lassen, weil sich an jeder Stelle und zu jedem Zeitpunkt einlaufenden Welle und reflektierte Welle überlagern. Deshalb gibt es unterschiedliche Verfahren, die notwendigen Spannungswerte zu messen:

Spannungsmessung längs des Wellenleiters

Schnittbild eines Stehwellenmessgerätes, mit dem sich die Spannungsänderungen am Innenleiter eines Koaxkabels bestimmen lassen. Zur genauen Messung der Abstände von Maxima und Minima kann der Messkopf parallel zum Innenleiter verschoben werden.

Man sucht - wie eben beschrieben - eine Stelle auf dem Wellenleiter, an der konstruktive Interferenz vorliegt und misst dort eine besonders grosse Effektivspannung U_Max = U_Vor + U_Refl. Anschliessend misst man im Abstand λ/4 davon U_Min = U_Vor - U_Refl und berechnet daraus

$SWR={\frac {U_{\text{max}}}{U_{\text{min}}}}$

Da eine unmittelbare Spannungsmessung die Messergebnisse infolge kapazitiver Belastung zu stark verfälschen kann, verwendet man kapazitive Spannungsteiler, bei denen ein Bruchteil der tatsächlichen Spannung gemessen wird. Dabei ist der genaue Wert des Bruchteils nicht ausschlaggebend, er muss nur konstant sein. Bei sehr kurzen Wellenlängen wird die Messung an einer teilweise offenen Koaxialleitung (engl. slotted line) durchgeführt, sie zeichnet sich durch hohe Genauigkeit aus. Übersteigt die Wellenlänge einige Meter, ist diese Art der Messung allein wegen der notwendigen Abmessungen problematisch.

Indirekte Messung

Wenn aus Gründen der Abschirmung die Koaxleitung nicht geöffnet werden darf oder die Wellenlänge einige Meter überschreitet, müssen die notwendigen Messwerte indirekt ermittelt werden. Dazu fügt man in den Wellenleiter zwei Richtkoppler ein, die mittels kurzer Drahtstücke aus vor- und rücklaufender Welle Bruchteile der jeweiligen Leistung auskoppeln. Bei sehr hohen Frequenzen im Gigahertzbereich werden diese ausgekoppelten Leistungen unmittelbar kalorisch ohne Gleichrichtung gemessen (siehe Leistungsmessung#Messung_von_Hochfrequenzleistung), es gilt:

${\text{SWR}}={\frac {1+{\sqrt {P_{\text{Refl}}/P_{\text{Vor}}}}}{1-{\sqrt {P_{\text{Refl}}/P_{\text{Vor}}}}}}$

Bei Frequenzen um 100 MHz werden die ausgekoppelten Spannungen, die proportional zu U_Vor und U_Refl sind, gleichgerichtet und gemessen. Es gilt:

$SWR={\frac {U_{\text{Vor}}+U_{\text{Refl}}}{U_{\text{Vor}}-U_{\text{Refl}}}}$

Mit der Wellenlänge müssen auch die Längen der Drahtstücke steigen, damit die ausgekoppelten Spannungen nicht zu klein werden. Das führt bei Frequenzen unter 5 MHz zu so unhandlichen Abmessungen, dass die Drahtstück durch einen Stromwandler (Durchsteckwandler) und zwei einstellbaren Kondensatoren ersetzt werden. Bei diesem "Bruene-Richtkoppler" ist die gemessene Spannung fast unabhängig von der Wellenlänge.

Nachteilig ist bei indirekten Messungen, dass die Zahl der Fehlerquellen steigt.

• Es muss der Einfluss möglicher Kabelresonanzen geprüft werden, indem das Kabel zwischen Stehwellenmessgerät und Last probeweise um λ/4 verlängert wird.
• Bei den üblicherweise verwendeten Richtkopplern steigt die Messspannung an den Enden der Koppeldrähte mit der Frequenz, weshalb Harmonische enorme Messfehler hervorrufen können. Zumal bei Antennen der Reflexionsfaktor ρ bei Oberwellen kaum beachtet wird und meist viel größer ist als bei der tieferen Sollfrequenz.

Strom, Spannung und Leistung am Wellenleiter

Spannungs- und Stromverlauf längs einer kurzgeschlossenen Lecherleitung. Die Strommaxima werden durch induktive Ankopplung mit nachfolgendem Gleichrichter gemessen. Die Spannungsmaxima werden durch kapazitive Ankopplung von Glimmlampen nachgewiesen.

Misst man die Effektivspannungen an unterschiedlichen Stellen entlang einer Doppelleitung bei Gleichstrom oder niederfrequentem Wechselstrom, beobachtet man eine stetige Verringerung in Richtung zum Lastwiderstand, deren Ursache der Spannungsabfall durch den Ohmschen Widerstand der Drähte ist. Bei hoher Frequenz des Wechselstromes und ausreichender Leitungslänge tritt ein neuartiges Phänomen hinzu: Die Spannungswerte erreichen (im Regelfall) in periodischen Abständen Maximalwerte (Ausnahme: Der Lastwiderstand hat präzis den Wert des Wellenwiderstandes). Diese Beobachtung ist die beste Möglichkeit, die Wellenlänge von Hochfrequenz zu messen (Lecher-Leitung) und war vor der Erfindung ausreichend schneller Frequenzzähler die einzige Möglichkeit, indirekt über die Beziehung λ·f = c die Frequenz f zu bestimmen.

Wird im nebenstehenden Bild der Kurzschlussbügel ganz rechts entfernt und das letzte λ/4-lange Drahtstück abgeschnitten (offenes Leitungsende), ändert sich nichts an den Orten der Maxima und Minima. Deren Position wird durch das Verhältnis der Abschlusswiderstände R zum Wellenwiderstand Z der Leitung bestimmt:

R < Z

Spannungs- und Stromwerte entlang eines Kabels, an dessen Ende ein Teil der vorlaufenden Welle gegenphasig reflektiert wird.

Im Bild gelten folgende Annahmen:

• Die Kabellänge beträgt genau drei Wellenlängen; das Kabel ist verlustfrei.
• Die (reellen) Belastungswiderstände an beiden Enden sind kleiner als der Wellenwiderstand Z des Kabels und werden so gewählt, dass der Reflexionsfaktor ρ = -0,7 ist.
• An einem Kabelende speist ein Sender ausreichend Energie ein, damit die Messwerte konstant sind.
• Wird der Lastwiderstand unmittelbar am Sender angeschlossen (vernachlässigbare Kabellänge), misst man V_eff = 0,3 V.

Alle Vorgaben werden beispielsweise erfüllt, wenn ein Kabel mit Z = 280 Ω mit R = 50 Ω belastet wird und der Sender (Quellwiderstand = 50 Ω) die Leistung 1,8 mW erzeugt. Das Stehwellenverhältnis hat in diesem Beispiel den Wert 1,7/0,3 = 5,67.

Wegen Z > R ist die gemessene Spannung an den Kabelenden minimal; bei Kurzschluss wäre sie Null. Dann hätten auch alle anderen Minimalwerte 0 V und die Messkurven wären Sinus-Halbbögen. Das bezeichnet man sehr ungenau als "stehende Welle", obwohl Wellen niemals stehen können. Die Messwerte des Stromes sind um 90° phasenverschoben und erreichen genau an den Kabelenden Maximalwerte.

Im Bild erkennt man auch die Ursache erhöhter Kabelverluste bei grossem SWR: An bestimmten Stellen ist die Spannung erheblich höher als an den Kabelenden, in diesem Beispiel um den Faktor 5,67. Das ist mit der Resonanzüberhöhung in Schwingkreisen vergleichbar. Da die dielektrischen Verluste im Isolationsmaterial proprotional zu U² sind, steigen diese lokal auf das 32,1-fache im Vergleich zum korrekt abgeschlossenen Kabel mit Z = R. An den Orten der Stromminima ist dafür die Wärmeerzeugung geringfügig reduziert.

Bei Hohlleitern können bei großem SWR an Orten besonders hoher Spannung elektrische Überschläge zwischen den Innenwänden auftreten. Um diese zu vermeiden, werden Hohlleiter bei Betrieb mit hohen Leistungen mit erhöhtem Gas-Innendruck betrieben.

R > Z

Spannungs- und Stromwerte entlang eines Kabels, an dessen Ende ein Teil der vorlaufenden Welle gleichphasig reflektiert wird.

Im Bild gelten folgende Annahmen:

• Die Kabellänge beträgt genau drei Wellenlängen.
• Die (reellen) Belastungswiderstände an beiden Enden sind größer als der Wellenwiderstand Z des Kabels und werden so gewählt, dass der Reflexionsfaktor ρ = +0,7 ist.
• An einem Kabelende speist ein Sender ausreichend Energie ein, damit die Messwerte konstant sind.
• Wird der Lastwiderstand unmittelbar am Sender angeschlossen (vernachlässigbare Kabellänge), misst man V_eff = 1,7 V.

Alle Vorgaben werden beispielsweise erfüllt, wenn ein Kabel mit Z = 50 Ω mit R = 280 Ω belastet wird und der Sender (Quellwiderstand = 280 Ω) die Leistung 10,2 mW erzeugt.

Wegen Z < R ist die gemessene Spannung an den Kabelenden maximal; bei offenem Ende wäre sie etwas größer und hängt von der Reaktion des Senders auf die fehlende Last ab. Die Messwerte des Stromes sind um 90° phasenverschoben und erreichen genau an den Kabelenden Minimalwerte.

Im Bild erkennt man auch die Ursache erhöhter Kabelverluste bei grossem SWR: An bestimmten Stellen ist der Strom erheblich höher als an den Kabelenden, in diesem Beispiel um den Faktor 5,67. Da die Wärmeverluste in den Drähten proprotional zu I² sind, steigen diese lokal auf das 32,1-fache im Vergleich zum korrekt abgeschlossenen Kabel mit Z = R.

Bei Hohlleitern müssen die Innenwände sehr gute Elektrische Leitfähigkeit aufweisen und sind deshalb häufig versilbert oder sogar vergoldet. Da der Skin-Effekt die Eindringtiefe des Stromes auf wenige Mikrometer begrenzt, muss über ein geringes SWR sichergestellt werden, dass es keine Orte mit erhöhter Strombelastung gibt, wo die Verluste durch Wärmeentwicklung enorm vergrößert wären.

R = Z

Nur bei exaktem Abschlusswiderstand Z = R sind sowohl Strom- als auch Spannung ortsunabhängig und wären als horizontale Geraden einzuzeichnen. Nur in diesem Fall sind die Gesamtverluste minimal. Noch bedeutsamer ist die Konsequenz, dass das Verhältnis Kabellänge/Wellenlänge bedeutungslos wird, weil es keinen Resonanzeffekt mehr gibt. Insbesondere können die ausgeprägten Transformationseigenschaften des Kabels nicht mehr stören, wenn die Länge ein ungerades Vielfaches von λ/4 beträgt.

Physikalische Deutung

Die Ursache der ortsabhängigen Spannung längs eines Wellenleiters sind reflektierte Wellen, die in vom (falsch bemessenen) Lastwiderstand (Antenne) zum Sender zurück laufen. Das lässt sich bei sehr hohen Frequenzen durch Zirkulatoren nachweisen, welche die vorlaufende Wellen kaum dämpfen und nur die rücklaufende Energie auskoppeln. In der Praxis setzt man Zirkulatoren unmittelbar am Lastwiderstand aber selten ein, um längs der restlichen Leitung SWR = 1 zu erzwingen, weil dadurch wertvolle Sendeleistung vernichtet wird. Es ist erheblich wirtschaftlicher, diese rücklaufende Energie am Sender erneut zu "spiegeln" und gemeinsam mit der "frisch produzierten" Energie zur Last zu schicken, wo ein Teil wiederum reflektiert werden kann. Dieses ständige Pendeln gegenläufiger Wellen verursacht die Interferenzerscheinung, die (physikalisch falsch) als "stehende Welle" bezeichnet wird. In den folgenden Bildern erkennt man, dass nur die Hüllkurve ortsfest bleibt.

• Reflexion einer nach rechts laufenden Welle bei unterschiedlichen Reflexionsfaktoren
• 
  Reflexionsfaktor ρ = -0,1
• 
  Reflexionsfaktor ρ = -0,7
• 
  Reflexionsfaktor ρ = +0,2
• 
  Reflexionsfaktor ρ = +0,8

In den vier oben gezeigten Bildern wird der Bruchteil ρ einer in einem Wellenleiter nach rechts laufenden Welle der Amplitude A (blau) reflektiert und läuft mit verringerter Amplitude nach links zurück (grün). Beide überlagern sich und ergeben die rot gezeichnete Welle, die ebenfalls nach rechts läuft und phasenmoduliert ist. Nur diese ist messbar, weil man beispielsweise bei einem Koaxialkabel an jedem Punkt nur eine einzige Spannung messen kann. Abhängig vom Wert des Lastwiderstandes R (am rechten Bildrand) sind zwei Fälle zu unterscheiden:

• R < Z: Die reflektierte Welle besitzt entgegengesetzte Phase und verringert deshalb die messbare Spannung an der Last. Bei Kurzschluss ist die Kompensation vollständig, man misst Null. In der Optik entspricht das der Reflexion von Licht an einem optisch dichteren Medium.
• R > Z: Die reflektierte Welle besitzt gleiche Phase und vergrößert deshalb die messbare Spannung an der Last. Bei offenem Leitungsende wird die messbare Spannung verdoppelt.

Trägt man die gleichgerichtete Spannung als Funktion des Ortes auf, erhält man die türkis gezeichnete Hüllkurve. Die Hüllkurve hängt nur vom Ort, nicht aber von der Zeit ab, sie ist auch keine physikalische Realität, sondern eine Messkurve, die typischerweise mit einer slotted line ermittelt wird. Wegen ihrer periodischen Struktur wird sie üblicherweise "stehende Welle" genannt, obwohl sie keine physikalische Welle ist und vor allem keine Energie transportiert oder speichert. Die Spannungswerte der Hüllkurve schwanken zwischen den Werten A·(1 + ρ) und A·(1 - ρ).

Spannung am Wellenleiter als Funktion von Ort (horizontale Achse = Elektrische Länge) und Reflexionsfaktor ρ

Man definiert den Reflexionsfaktor ρ

$\rho ={\frac {U_{\text{Refl}}}{U_{\text{Vor}}}}={\frac {Z_{\mathrm {Last} }-Z_{\mathrm {Kabel} }}{Z_{\mathrm {Last} }+Z_{\mathrm {Kabel} }}}={\sqrt {\frac {P_{\text{Refl}}}{P_{\text{Vor}}}}};\qquad |\rho |\leq 1$

Dabei bedeuten

Z_Kabel: die Wellenimpedanz der Leitung,

Z_Last: der Eingangswiderstand der am Leitungsende angeschlossenen Schaltung.

U_Vor: die Spannung der hinlaufenden Welle

U_Refl: die Spannung der rücklaufenden Welle

• Für Reflexionsfaktor ρ = 0 (SWR = 1) ist die Effektivspannung U = U_Vor entlang des gesamten Wellenleiters gleich groß, es liegt perfekte Leistungsanpassung vor.
• Für ρ = 1 (SWR = ∞) schwankt die Effektivspannung ortsabhängig zwischen U_Max = 2·U_Vor und Null. Dann spricht man von einer stehenden Welle.
• Für alle anderen Werte von ρ kann man den Spannungsverlauf am Wellenleiter dem nebenstehenden Bild entnehmen. Darin bedeutet V_mot "maximum voltage over time", was im Deutschen etwa U_effektiv entspricht.

Einschwingverhalten bei kontinuierlichen Wellen

Der Satz "Bei einem grossen SWR wird ein hoher Anteil der eingespeisten Leistung am Verbraucher reflektiert und über den Wellenleiter zur Quelle zurück geleitet. Abhängig von deren Impedanz wird dieser Anteil dort absorbiert oder wieder teilweise zum Verbraucher reflektiert" in der Einleitung wird gelegentlich missverstanden und führt dann zur falschen Folgerung, dass bei hohem SWR im Dauerbetrieb nur ein geringer Teil der erzeugten Leistung vom Verbraucher (beispielsweise einer Antenne) absorbiert wird und der Rest verloren ist. Das ist beim Betrieb mit kontinuierlichen Wellen falsch, denn nach einem kurzen Einschwingvorgang gleicht sich die Leistungsbilanz innerhalb weniger Mikrosekunden aus.

Dieses Pendeln von Energie wird an einem Beispiel in Einzelschritten erklärt. Ein Sender (Quellimpedanz = 50 Ω) liefert über eine luftisolierte, verlustarme 300 Ω-Bandleitung der elektrischen Länge n·λ/2 (mit n∈0,1,2,...) Leistung an einen 50 Ω-Lastwiderstand. Gemäß Leitungstheorie findet trotz sehr hohem SWR = 6 eine verlustfreie Übertragung statt, insbesondere wird im Dauerbetrieb die erzeugte Leistung vollständig in der Last "verbraucht". Der Sender kann trotz hohem SWR unmöglich beschädigt werden, weil er wegen der λ/2-Nichttransformation seine Sollimpedanz "sieht".

Im Detail geschieht unmittelbar nach dem Einschalten des Senders folgendes:

1. Sobald die ersten Wellen die Last erreichen, wird infolge des hohen negativen Reflexionsfaktors ρ = -0,714 der größte Teil der gelieferten Leistung mit entgegengesetzter Phase reflektiert (Kurzschlusscharakteristik).
2. Erreicht diese reflektierte Leistung den Sender, gilt nun der positive Reflexionsfaktor ρ = +0,714 und der größte Teil dieser Leistung wird gleichphasig in Richtung Last reflektiert (Leerlaufcharakteristik). Der Rest wird zur aktuellen Senderleistung addiert.
3. Kommt der (am Sender) reflektierte Anteil der (an der Last) reflektierten Leistung erneut an der Last an, addiert er sich zur Senderleistung, weil er zwischenzeitlich einen "Umweg" von 2·n·λ/2 = n·λ zurückgelegt hat und deshalb gleichphasig sein muss. Letztlich erreicht dieser Anteil nach der doppelten Kabellaufzeit die Last und geht nicht verloren.
4. Die Gesamtleistung an der Last übertrifft deshalb nun für einen kurzen Zeitraum die Senderleistung, der weitere Verlauf geht sinngemäß so weiter, wie unter 1) beschrieben.

Dieses Pendeln von Energie zwischen beiden Kabelenden klingt nach kurzer Zeit ähnlich einer gedämpften Schwingung ab und kann mit einem Transientenrekorder aufgezeichnet werden. Nach Abklingen dieser Transienten fließt die erzeugte Senderleistung vollständig in die Last, obwohl das SWR unverändert hoch ist.

Falls die elektrischen Länge des Kabels kein Vielfaches von λ/2 ist, laufen im Prinzip die gleichen Energie-"Schwingungen" wie beschrieben ab, infolge geänderter Phasenbedingungen dauert der Vorgang jedoch länger.

Bei Signalen ohne kontinuierliche Trägerfrequenz, wie sie in der Datenübertragung, z.B. Ethernet vorkommen, kann kein Einschwingvorgang beobachtet werden. Deshalb kann kein SWR bestimmt werden und als Hilfe zur Fehlerbehebung herangezogen werden.

SWR bei besonderen Kabellängen

Die Auswirkungen eines hohen SWR werden häufig überschätzt und können bei gewissen Leitungslängen bedeutungslos sein. Ist die Leitung nicht mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossen (SWR > 1), variiert die Eingangsimpedanz der Leitung abhängig von Leitungslänge, Betriebsfrequenz, Abschlussimpedanz und Leitungswellenwiderstand.

Länge ≈ 0

Auch wenn die Leitungslänge viel kürzer als λ ist, kann am Kabelende Fehlanpassung auftreten, wobei eingespeiste Energie reflektiert wird: Alle Leitungen des Stromversorgungsnetzes (auch Hochspannungsleitungen) sind krass fehlangepasst und trotzdem sehr gut für die Energieübertragung geeignet: Der Quellwiderstand beträgt ≈ 0 Ω, Der Wellenwiderstand der Leitungen liegt bei ≈ 300 Ω und der Lastwiderstand schwankt zwischen ≈ 10 Ω und ∞ Ω. Obwohl die Wellenlänge bei 50 Hz so groß ist, dass man das SWR nicht unmittelbar messen kann, gelten auch für diese Frequenz die gleichen physikalische Gesetze wie für Hochfrequenz. Das außerordentlich geringe Verhältnis Länge/λ erlaubt beliebige Verzweigungen ohne Leistungsteiler, die bei sehr kurzen Wellenlängen zwingend erforderlich sind, um ungestörten Energiefluss zu ermöglichen.

Länge = n*λ/2

Wenn das Kabel die elektrischen Länge n*λ/2 mit n∈0,1,2,... besitzt, wird der Wert des Lastwiderstandes gemäß Leitungstheorie auch bei beliebigem Wellenwiderstand des Kabels nicht transformiert. Der Sender kann nicht beschädigt werden, weil er seine Sollimpedanz "sieht". Falls das Kabel verlustarm ist, handelt es sich um eine besonders effektive Art der Energieübertragung, die in der Anfangszeit der Funktechnik beliebt war. Einziger Nachteil: Es darf keine nenneswerten Änderungen der Wellenlänge geben.

Länge = λ/4

Beträgt die Länge ein ungerades Vielfaches von λ/4, zeigt das Kabel ausgeprägte Transformationseigenschaften (Resonanztransformator), die mitunter sehr erwünscht sind und vorteilhafte technische Lösungen ermöglichen. Obwohl dabei sehr grosse Reflexionsfaktoren (= grosses SWR!) auftreten können, gilt diese Art von HF-Transformator als besonders verlustarm (siehe auch Streifenleitung).

Speist beispielsweise ein Sender (Quellimpedanz = 25 Ω) einen Lastwiderstand R = 100 Ω über ein λ/4-Kabel der Impedanz Z = 50 Ω, errechnet sich ein Reflexionsfaktor ρ = 0,333 und ein SWR = 2. Trotzdem liegt gemäß Leitungstheorie#Sonderfall_λ/4 eine perfekte und praktisch verlustfreie Anpassung vor.

Anwendungen

Auswirkungen auf das Kabel

Ein luftisoliertes Kabel ("Hühnerleiter") erzeugt auch bei sehr grossem SWR nur vernachlässigbare Verluste.

Luftisoliertes, extrem verlustarmes Kabel, bei dem die Verluste durch den Skineffekt durch Parallelschaltung vieler Drähte verringert sind (siehe auch Hochfrequenzlitze).

Das Stehwellenverhältnis erlaubt eine Aussage über die Übertragungsverluste im Kabel. Es wird nur durch Kabel und den Wert des Abschlusswiderstandes (z.B. eine Antenne) bestimmt und kann durch keine Maßnahmen am Sender geändert werden.

Die Leistungsverluste entlang des Kabels sind auf zwei Ursachen zurückzuführen:

1. Die Dielektrische Erwärmung des Isoliermaterials ist proportional zu U². Deshalb steigt der mittlere Energieverlust mit wachsendem Unterschied zwischen U_Max und U_Min. Die größte Verlustwärme im Dielektrikum entsteht an den Stellen des Wellenleiters, an denen U_Max gemessen wird. Bei Luftisolation kann dieser Anteil vernachlässigt werden.
2. Bei SWR > 1 ist auch die Strombelastung des Kabels ortsabhängig, wobei eine Phasendifferenz von 90° vorliegt: U_Max und I_Min sind am gleichen Ort messbar, ebenso U_Min und I_Max. An allen Orten in der Umgebung von I_Max ist die lokale Erwärmung wegen P = I²·R besonders gross.

• SWR = 1. Bei diesem Idealfall tritt keine Reflexion am Kabelende auf, weil der Abschlusswiderstand den korrekten Wert von beispielsweise 50 Ω besitzt. Die in das Kabel eingespeiste Leistung wird (abzüglich der Kabelverluste von beispielsweise 2 dB) im Abschlusswiderstand verbraucht. Spannungen und Ströme haben überall auf dem Kabel den gleichen Wert, deshalb gibt es keine zusätzlichen Energieverluste. Daraus folgt aber nicht, dass die Antenne besonders gut abstrahlt; denn wenn man die Antenne durch eine Dummy-Load mit korrektem Widerstand ersetzt, wird trotz SWR = 1 keine Leistung abgestrahlt.
• SWR ≈ 2. Ein gutes SWR bedeutet nur, dass zwischen Kabel und Antenne fast Leistungsanpassung vorliegt. Es liefert keine Aussage, ob die Antenne die zugeführte Leistung gut abstrahlt. Spannungen und Ströme unterscheiden sich an unterschiedlichen Stellen des Kabels geringfügig, weshalb die Energieverluste von 2 dB auf 2,3 dB leicht ansteigen.
• SWR ≈ 5. Dieses SWR bedeutet, dass der Wert des Abschlusswiderstandes um den Faktor 5 größer oder kleiner als die Wellenimpedanz des Kabels ist. Spannungen und Ströme unterscheiden sich an unterschiedlichen Stellen des Kabels sehr stark und im Kabel entstehen unnötig hohe Wärmeverluste, wodurch die Dämpfung eines Koaxkabel von beispielsweise 2 dB auf 3,7 dB ansteigen kann. Bei bestimmten Bauarten, beispielsweise der in der Anfangszeit der Funktechnik verwendeten „Hühnerleiter“ (einer zwischen Sender und Antenne frei aufgehängten, luftisolierten Doppelleitung genau definierter Länge), sind die Verluste trotz hohem SWR vernachlässigbar. Grund dafür ist, dass Luft auch bei hohen Spannungen keine dielektrische Verluste erzeugt.
• SWR = ∞. Bei offenem oder kurzgeschlossenen Kabelende tritt vollständige Reflexion der Leistung auf. Das Kabel wirkt wie ein gedämpfter Schwingkreis, dessen Resonanzwellenlängen und -frequenzen nur von der Länge und vom Aufbau des Kabels abhängen (siehe Leitungstheorie#Sonderfall_Kurzschluss).

Auswirkungen auf den Sender

Jeder Sender muss zwischen Endstufe und Antennenbuchse ein selektives Netzwerk aus verlustarmen Kondensatoren und Spulen besitzen, das die Oberwellen ausreichend dämpft. Zugleich ist dieses Netzwerk ein Resonanztransformator, der die notwendige Widerstandstransformation zwischen dem optimalen Ersatzwiderstand X des aktiven Bauelementes (Elektronenröhre oder Transistor) und der Kabelimpedanz herstellt. X ist kein Ohmscher Widerstand, weil Spannung und Strom am aktiven Bauelement nicht proportional zueinander sind, sondern ergibt sich aus der Wahl geeigneter Kennlinienpunkte. X wird so gewählt, dass das aktive Bauelement im Rahmen der zulässigen Grenzwerte maximale Leistung erzeugen kann. Der Ersatzwiderstand X des aktiven Bauelementes kann genausowenig Energie absorbieren oder überlastet werden wie der Wellenwiderstand eines Wellenleiters.

Oft kann das Transformationsverhältnis in engen Grenzen variiert werden, was man als Abstimmung bezeichnet. Wenn jedoch die tatsächliche Kabelimpedanz zu stark vom Sollwert (meist 50 Ω) abweicht und zusätzliche induktive oder kapazitive Blindwiderstände aufweist, kann das Netzwerk die tatsächliche Belastungsimpedanz (fehlangepasstes Kabel) nicht mehr in den Toleranzbereich des Endstufentransistors transformieren. Falls das auch nicht durch ein zusätzliches Anpassungsnetzwerk gelingt, kann die Maximalspannung oder der Maximalstrom des Transistors überschritten werden (SOAR-Diagramm) und der Verstärker ist zerstört.

Häufig wird angenommen, dass Sender einen definierten Quellwiderstand besitzen, der mit dem Wellenwiderstand des Kabels übereinstimmt. So sind aber nur leistungsschwache Prüfsender konstruiert, um die Auswertung der Messergebnisse zu erleichtern. Leistungsstarke Sender werden niemals mit Leistungsanpassung betrieben, weil dadurch der Wirkungsgrad auf maximal 50 % limitiert ist. Tatsächlich misst man Werte bis zu 85 % (Sender Wachenbrunn), was durch strikte Vermeidung aller energieabsorbierenden Bauelemente im Anpassungsnetzwerk und C-Betrieb der Senderendstufe erreicht wird. C-Betrieb heißt, das aktive Bauelement (Röhre oder Transistor) ist entweder ein- oder ausgeschaltet und absorbiert in keinem Zustand Energie, weshalb man keinen (linearen) Quellwiderstand definieren kann. Deshalb ist die Vermutung falsch, die "Energie der rücklaufenden Welle" könnte die Senderendstufe wegen Überhitzung überlasten.

Wo soll das SWR gemessen werden?

Jeder Wellenleiter dämpft die durchlaufenden Wellen um einen gewissen Prozentsatz, weshalb sich das Messergebnis am Kabelanfang von dem am Kabelende unterscheidet. Die oft gravierenden Folgen lassen sich an einem einfachen Beispiel zeigen: Ein 100 -Sender ist über ein Koaxkabel mit einer Antenne verbunden, das Kabel dämpft um 3 dB, an der Antenne kommen nur 50 W an.

• Falls die Antenne kurzgeschlossen oder der Anschluss abgerissen ist, wird diese Leistung vollständig reflektiert, weshalb man unmittelbar an der Antenne SWR = ∞ misst und berechnet.
• Die reflektierte Leistung wird ebenfalls um 3 dB gedämpft, es kommen nur 25 W am Sender an und hier zeigt das Messgerät SWR = 3 an. Das mag für bescheidene Ansprüche ausreichen, ist aber völlig falsch.
• Erhöht sich feuchtigkeitsbedingt die Kabeldämpfung auf 4 dB, sinkt das am Sender gemessene SWR auf den akzeptablen Wert 2,3 und signalisiert eine funktionsfähige Anlage, obwohl die Antenne nichts abstrahlt.

Trotzdem wird das Stehwellenmessgerät fast immer direkt am Sender betrieben, weil es dort wesentlich besser zugänglich ist als an der Antenne.

Ein 30 m langes Stück RG58U-Koaxkabel kann bei 432 MHz als Dummy Load bis etwa 200 W verwendet werden, weil die reflektierte Welle um insgesamt 20 dB gedämpft wird. Deshalb kommt - unabhängig vom Abschlusswiderstand - maximal 1 % der eingespeisten Leistung wieder am Sender an, woraus sich das sehr geringe SWR = 1,22 errechnet. Bei tieferen Frequenzen muss ein entsprechend längeres Kabel verwendet werden, um die erforderliche Gesamtdämpfung zu erreichen.

Antennen-Messungen

Zur Beurteilung des Fusspunktwiderstandes einer Antenne kann das SWR benutzt werden, wenn es unmittelbar an der Antenne gemessen wird. Bei größerem Abstand können Kabelresonanzen und Kabeldämpfung das Ergebnis verfälschen. Eine ideale Antenne hat ein SWR von 1:1 und erzeugt deshalb keine reflektierten Wellen. Typische Werte für eine reale Antenne im WLAN-Bereich liegen etwa bei 1:2 bis 1:2,5.

Refexion von Pulsfolgen

Bei einer Datenübertragung innerhalb der Hauptplatine eines Computers oder beim Ethernet wird eine unregelmässige Folge von Einzelpulsen übertragen, weshalb es kein "Einschwingverhalten" geben kann. Falls das Kabelende nicht mit der korrekten Impedanz belastet ist, wird ein Teil der ankommenden Pulsenergie zum Sender reflektiert. Die Datenempfänger (UART oder USB-Chips) sind immer so gebaut, dass sie die Reduktion der empfangenen Energie problemlos verkraften. Mögliche Probleme werden erst am Sender erzeugt, wobei zwei Fälle zu unterscheiden sind:

• Der Quellimpedanz des Senders stimmt mit dem Wellenwiderstand des Kabels überein. Dann wird die Energie des rücklaufenden Impulses hier absorbiert und es gibt keine Störungen der Datenübertragung. Angesichts der geringen Leistung ist keine Überlastung des Senders zu befürchten.
• Bei Fehlanpassung wird ein Teil der Impulsenergie mit veringerter Leistung, möglicherweise vertauschter Polarität und vermutlich im falschen Zeitraster zur Last reflektiert und kann dort wie ein (fehlerhaftes) Signal verarbeitet werden.

Bei bidirektionalem Datenverkehr wie USB und Datenbus müssen also beide Kabelenden mit der korrekten Impedanz abgeschlossen werden.

Theoretische Hintergründe

Superposition der gegenläufigen Wellen

Spannungs- und Stromwerte entlang eines Kabels, an dessen Ende ein Teil der vorlaufenden Welle gegenphasig reflektiert wird.

Wenn der Lastwiderstand R kleiner ist als der Wellenwiderstand Z des Kabels, übersteigt die Kabelspannung im Abstand λ/4 vor der Last die Klemmenspannung an der Last um den Faktor SWR = Z/R und kann erstaunliche Beträge erreichen. Beispiel: Aus den Werten Z = 280 Ω und R = 50 Ω folgen ρ = -70 % und SWR = 5,6. Deshalb ist die Maximalspannung am Kabel 5,6-mal größer als die Spannung unmittelbar an der Last, was sich leicht experimentell bestätigen lässt. Dieser grosse Unterschied ist durch die übliche Erklärung der Überlagerung von vor- und rücklaufender Welle nicht erklärbar, denn wenn maximal 100 % der ankommenden Welle reflektiert wird, kann es bestenfalls zu einer Spannungsverdopplung kommen.

Eine genaue Analyse ergibt, dass die Wellen das Kabel mit abnehmender Amplitude mehrfach durchlaufen, weil sie immer wieder an Kabelanfang und -ende reflektiert werden. Die Summation führt auf ein bemerkenswertes Ergebnis: Das Spannungsverhältnis SWR hängt nur vom Reflexionsfaktor ρ_Last ab. Der Reflexionsfaktor am Sender beeinflusst nicht das SWR.

Der "lokale" Wellenwiderstand

Die Veranschaulichung der gut messbaren Spannungsschwankungen längs eines fehlangepassten Wellenleiters durch die Vorstellung gegenläufiger Wellen führt mitunter zu falschen Schlussfolgerungen. Das Bild zeigt beispielsweise, dass zu grossen Spannungen kleine Ströme gehören und umgekehrt. Dargestellt sind aber nur die messbaren Realanteile, deren alleinige Verwendung unsinnige Resultate für den Wellenwiderstand Z liefern. Z kann sich nicht ändern, weil es durch die geometrischen Maße des Wellenleiters festgelegt und deshalb überall gleich gross ist. Deshalb muss man Z = U/I mit schwieriger zu ermittelnden komplexen Werten berechnen, die die Phasenverschiebung enthalten.

Richtung der Leistung

Genauso muss die Gesamtleistung an jedem Ort als Produkt der komplexen Größen U und I berechnet werden. Man erhält das Ergebnis, dass die Leistung an jedem Ort und zu jeder Zeit den gleichen Wert besitzt. Die Überprüfung mit dem Poynting-Vektor ergibt zusätzlich, dass diese konstante Gesamtleistung immer von der Quelle zur Last fließt. Auch wenn man der reflektierten Welle gegenläufige Leistung zuschreiben mag, ist diese wegen |ρ| < 1 immer kleiner als die vorlaufende Komponente.

Reaktive Lasten

Durch einen kurzen "Stub" kann der Blindanteil der rechts angeschlossenen Last kompensiert werden. Bei korrekter Wahl von Länge und Position des Stubs an der Streifenleitung ist der Wellenleiter (engl: Main line) reflexionsfrei abgeschlossen.

Werden Dipolantennen nur wenige Prozent neben der Resonanzfrequenz betrieben, besitzt der Fusspunktwiderstand merkliche induktive bzw. kapazitive Anteile. Dann ist der Reflexionsfaktor eine komplexe Zahl und die reflektierte Welle ist weder gleich- noch gegenphasig bezüglich der ankommenden Welle, sondern phasenverschoben. Die Maximal- und Minimalspannungen längs des Kabels können dann immer noch in gegenseitigen Abständen von λ/2 gemessen werden, liegen aber an verschobenen Positionen. Für R < Z ist die Minimalspannung dann nicht mehr unmittelbar an der Last messbar, sondern in gewissem Abstand davon. Dieser hängt davon ab, wie groß der induktiv bzw. kapazitive Blindwiderstand der Antenne ist.

Gemäß den Formeln der Leitungstheorie lässt eine λ/4-Leitung einen Kondensator wie eine Induktivität erscheinen und umgekehrt. Diese Transformation wird bei Schaltungen im VHF-Bereich gern ausgenutzt, um die Verwendung von Induktivitäten zu umgehen.

Leistungsanpassung

Bei Hochfrequenzsendern wird oft (falsch und unbewiesen) vermutet, dass ein geringes SWR angestrebt wird, um möglichst viel Leistung vom Sender an die Last (Antenne) zu übertragen. Das ist grundverkehrt, weil bei Leistungsanpassung der Wirkungsgrad auf maximal 50 % begrenzt ist. Dann würde die Hälfte der erzeugten Leistung noch im Sender in Wärme verwandelt werden. Tatsächlich erreichen aber Wanderfeldröhren Wirkungsgrade um 70 %, Klystroden um 75 %, der transistorisierte Sender Wachenbrunn sogar 85 %. Leistungssender besitzen keinen definierbaren Quellwiderstand und statt auf Leistungsanpassung wird das Anpassungsnetzwerk so eingestellt, dass abgegebene Leistung und Wirkungsgrad maximal sind. Geringes SWR hat nichts mit großem Wirkungsgrad zu tun, solange die Kabeldämpfung gering ist.

Leitungsanpassung (also Wellenwiderstand = Lastwiderstand) wird angestrebt, um das Stehwellenverhältnis und damit die Wärmeverluste entlang der Leitung gering zu halten.

Leistungsanpassung (also Quellwiderstand = Lastwiderstand) wird nur dann angestrebt, wenn es gilt, aus leistungsschwachen Quellen wie Empfangsantennen oder Sensoren so viel Leistung wie irgend möglich herauszuholen, um ein ausreichendes Signal-Rausch-Verhältnis sicherzustellen. Datenkabel werden nur deshalb beidseitig mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen, um unerwünschte Reflexionen von Impulsen zu vermeiden; niemals geht es darum, die übertragene Leistung zu maximieren.

Berechnung mit S-Parameter

Ein Kabel besitzt vier Anschlüsse und wird deshalb in der Hochfrequenztechnik wie ein Zweitor mit S-Parametern beschrieben. Kennt man diese, kann man damit die Anpassungsverluste beschreiben:

${ForwardLossFactor}=1-|S_{11}|^{2}-|S_{21}|^{2}$

${ReverseLossFactor}=1-|S_{22}|^{2}-|S_{12}|^{2}$

Literatur

• Otto Zinke, Heinrich Brunswig: Hochfrequenztechnik 1: Hochfrequenzfilter, Leitungen, Antennen. 6. Auflage. Springer, 1999, ISBN 978-3-540-66405-5. 

• H. Meinke, F. Gundlach, K. Lange, Taschenbuch der Hochfrequenztechnik, Band 2, ISBN = 3540547150

Weblinks

• SWR-Messverfahren
• Bau eines SWR-Meters

Referenzen

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