Bass-Serre-Baum

Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie

Bass-Serre-Bäume sind eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie, mit der Gruppenwirkungen von amalgamierten Produkten oder allgemeiner Fundamentalgruppen von Graphen von Gruppen auf Bäumen konstruiert werden können.

Sie sind nach Hyman Bass und Jean-Pierre Serre benannt.

Definition

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Es sei   ein Graph von Gruppen und   seine Fundamentalgruppe. Der zugehörige Bass-Serre-Baum   wird konstruiert wie folgt:

  • die Ecken sind  
  • die Kanten sind  
  • die Kante   hat die Ecken   und  , für  

Die Gruppe   wirkt auf   durch Linksmultiplikationen auf   und  .

  ist ein Baum.[1]

Struktursatz

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Es sei   ein Graph von Gruppen und   sein Bass-Serre-Baum. Dann sind die Stabilisatoren von Ecken   bzw. Kanten   isomorph zu   bzw.   für   bzw.   und der Quotient   ist der dem Graph von Gruppen unterliegende Graph  .

Beispiele

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Die beiden folgenden Graphen[2] sind die Bass-Serre-Bäume eines freien Produkts bzw. einer HNN-Erweiterung.

  • Bass-Serre-Baum des freien Produkts  :

 

  • Bass-Serre-Baum der Baumslag-Solitar-Gruppe  :

 

Literatur

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Jean-Pierre Serre: Trees. Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44237-5

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Richard Weidmann: Bass-Serre theory (Memento vom 19. Februar 2015 im Internet Archive)

Einzelnachweise

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  1. Serre, op.cit., Theorem 12 in Chapter I
  2. Weidmann, op.cit., Chapter 5