In der Geometrie sind Bezierflächen Flächen im , die als räumliche Verallgemeinerungen von Bezierkurven definiert werden. Dabei geht man im Wesentlichen zwei Wege einer Verallgemeinerung. Dies führt auf:

Tensorprodukt-Bezierfläche und ihr Kontrollnetz (blau)

Bezierflächen spielen in den Bereichen Computergraphik und ComputerAidedDesign eine wesentliche Rolle beim Modellieren von Freiformflächen[1][2].

Tensorprodukt-Bezierflächen

Bearbeiten

Definition

Bearbeiten

Es sei   eine Bezierkurve im  , deren Kontrollpunkte von einem weiteren Parameter   abhängen, und zwar sollen sie selbst auf Bezierkurven liegen:  . Damit beschreibt

  •  

eine Fläche, die zu den Kontrollpunkten oder Kontrollnetz   gehörige (m,n)-Tensorprodukt-Bezierfläche[3]. Die Fläche enthält die Punkte   und die Parameter-Kurven (  oder   sind konstant), insbesondere die Randkurven, sind Bezierkurven.

Man beachte, dass eine  -Tensorprodukt-Bezierfläche zwar Geraden enthält, aber i.a. nicht eben ist. Z.B. erhält man für

  die Fläche mit der Parameterdarstellung
 
 

Dies ist ein Teil des hyperbolischen Paraboloids mit der Gleichung  .

Der Casteljau-Algorithmus

Bearbeiten

Die Grundidee des Casteljau-Algorithmus für Kurven ist die lineare Interpolation von Punktepaaren. überträgt man diese Idee auf Tensorprodukt-Bezierflächen, so muss man eine bilineare Interpolation für vier Punkte definieren. Sie ist, wie bei Kurven, am einfachsten Fall ablesbar: Eine (1,1)-Tensorprodukt-Bezierfläche auf den vier Punkten   hat die folgende Darstellung:

 

Oder in Matrixform:

 

Man geht zunächst von einem  -Kontrollnetz aus und bestimmt (wie bei Kurven) für   und einem Parameterpaar   Zwischenvektoren, die durch bilineare Interpolation entstehen:

 

wobei   ist. Dann sei   der Punkt, der dem Parameterpaar   zugeordnet wird.

Falls   ist, ist ab   der zweite Index konstant   und es wird nur noch linear interpoliert (wie bei Bezierkurven).

  • Der Punkt   ist dann der Flächenpunkt.

Analog verfährt man, falls   ist.

Graderhöhung

Bearbeiten

Es ist oft von Vorteil, wenn für eine  -Tensorprodukt-Bezierfläche   ist. Falls dies nicht der Fall ist, lässt sich dies mit Hilfe geeigneter Graderhöhungen erreichen.

Die Graderhöhung von   auf   der Tensorprodukt-Bezierfläche

 

führt auf die   Graderhöhungen für die Bezierkurven in der eckigen Klammer:

 

mit

 

Ableitungen einer Bezier-Fläche

Bearbeiten

Die partielle Ableitung der Tensorprodukt-Bezierfläche

 

nach   ist

 

Mit dem Resultat für die Ableitung einer Bezierkurve ergibt sich:

  •  

wobei  . Analog erhält man die partielle Ableitung nach   und alle höheren Ableitungen.

Da die Vektoren   Tangentenvektoren der im Punkt   beginnenden Randkurven sind, ist

  •  

ein Normalenvektor der Fläche in diesem Punkt, falls beide linear unabhängig sind. D.h. die Tangentialebene in den Eckpunkten einer Tensorprodukt-Bezierfläche wird i.a. jeweils von dem Eckpunkt und seinen Nachbarpunkten im Kontrollnetz aufgespannt.

Dreiecks-Bezierflächen

Bearbeiten

Motivation und Definition

Bearbeiten

Eine formale Verallgemeinerung der Bernstein-Polynome auf Funktionen mit zwei Variablen würde von der Beziehung   ausgehen. Damit die auftretenden Terme alle positiv sind, muss   in dem Dreieck   liegen. Zwei der drei Dreiecksseiten spielen als Intervalle auf den Koordinatenachsen eine besondere Rolle. Um diese Bevorzugung zu vermeiden, führt man homogene Koordinaten   mit der Bedingung   ein.   nennt man Baryzentrische Koordinaten. Die verallgemeinerten Bernsteinpolynome ergeben sich aus der Entwicklung von   zu:

  •  

mit   und  .

 
Kontrollpunkte einer Dreiecks-Bezierfläche

Mit den Abkürzungen   und   ist

 

Ist nun

 

ein dreieckiges Netz von Punkten des  , den Kontrollpunkten, so ist[4]

  •  

die zugehörige Dreiecks-Bezierfläche.

Die Abbildung zeigt die Anordnung der Punkte für den Fall  .

De-Casteljau-Algorithmus

Bearbeiten

Um den Casteljau-Algorithmus für Dreiecks-Bezierflächen übersichtlich formulieren zu können, führt man noch die folgenden Abkürzungen ein[5]:

  und  .

Es sei nun   ein dreieckiges Netz von Punkten im   und   ein Parametervektor in baryzentrischen Koordinaten. Dann sei für   und  

 

mit   Dann ist

  •   ein Punkt der Dreiecks-Bezierfläche[6].

Der Nachweis, dass der Casteljau-Algorithmus wirklich einen Punkt der Dreiecks-Bezierfläche liefert, verwendet (analog zum Kurvenfall) die Rekursionsformeln für Bernsteinpolynome:

  •  

Für weitere Details sei auf die Literatur verwiesen.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Farin: Curves and Surfaces for CAGD
  2. Hoschek&Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung
  3. Farin S. 254
  4. Farin S. 310
  5. Farin S. 307
  6. Farin S. 306

Literatur

Bearbeiten
  • Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
  • J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung, Vieweg+Teubner Verlag, 1989, ISBN 978-3-519-02962-5
  • David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. Springer Science+Business Media, Inc., 2006, ISBN 0-387-24196-5
  • Boaswan Dzung Wong: Bézierkurven: gezeichnet und gerechnet. Orell Füssli Verlag, Zürich 2003, ISBN 3-280-04021-3
  • Wolfgang Boehm, Gerald Farin, Jürgen Kahmann: A survey of curve and surface methods in CAGD, Comput. Aided Geom. Des. 1, S. 1–60, 1984