Die Kovarianzfunktion ist in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, eine spezielle reellwertige Funktion, die einem stochastischen Prozess zugeordnet wird. Ihre Bedeutung erlangt die Kovarianzfunktion dadurch, dass sich eine bestimmte Klasse von stochastischen Prozessen eindeutig durch ihre Kovarianzfunktion charakterisieren lässt. Kovarianzfunktionen finden sich häufig im Umfeld des Wiener-Prozesses und verwandter Konstruktionen. Die Kovarianzfunktion eines stochastischen Prozesses wird auch als Autokovarianzfunktion bezeichnet.

Definition

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Gegeben sei ein reellwertiger stochastischer Prozess   mit Indexmenge   und endlichen Varianzen, d. h.   für alle  . Dann heißt die Funktion

 

definiert durch

 

die Kovarianzfunktion oder Autokovarianzfunktion des stochastischen Prozesses. Dabei bezeichnet   die Kovarianz zweier Zufallsvariablen   und   und   bezeichnet den Erwartungswert einer Zufallsvariablen  .

Beispiel

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Gegeben sei ein Wiener-Prozess  . Ist o.B.d.A.  , so ist

 

Da der Wiener Prozess aber ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ist, gilt   und somit

 

da der Prozess normalverteilte Zuwächse hat. Somit gilt für den Wiener-Prozess

 .

Eigenschaften

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  • Die Kovarianzfunktion eines stochastischen Prozesses ist symmetrisch in den beiden Argumenten, es gilt also
 
Dies ergibt sich unmittelbar aus   für je zwei Zufallsvariablen   und  .
  • Es gilt
 
Die Nichtnegativität ergibt sich unmittelbar aus  .
  • Jeder Gauß-Prozess  , der zentriert ist in dem Sinne, dass   für alle   gilt, wird durch seine Kovarianzfunktion eindeutig bestimmt. Denn sind   gegeben, so lässt sich die Verteilung des Prozesses zu diesen Zeitpunkten wie folgt bestimmen: Da der Prozess zu diesen Zeitpunkten mehrdimensional normalverteilt ist und eine mehrdimensionale Normalverteilung eindeutig durch ihren Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix bestimmt ist, genügt es aufgrund der Zentriertheit die Kovarianzmatrix zu bestimmen. Diese ist aber durch die Kovarianzfunktion gegeben: Der Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ist genau  .
Dieses Vorgehen ist für beliebige   und alle   durchführbar. Die so gewonnenen Verteilungen bilden dann eine projektive Familie und bestimmen somit nach dem Erweiterungssatz von Kolmogorov die Verteilung des Prozesses eindeutig.

Positive Semidefinitheit

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Jede Kovarianzfunktion eines stochastischen Prozesse ist positiv semidefinit, es gilt also

 

für beliebige  ,   und  .[1]

Die Nichtnegativität ergibt sich aus (vergleiche Gleichung von Bienaymé)

 

Dies bedeutet auch, dass die quadratische Kovarianzmatrix des  -dimensionalen Zufallsvektors  , die aus den Elementen   für   besteht, eine positiv semidefinite Matrix ist.

Diese Eigenschaft zeigt auch, dass nicht jede Funktion   als Kovarianzfunktion eines stochastischen Prozesses angesehen werden kann.

Korrelationsfunktion

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Ist   für alle  , so heißt

 

die Korrelationsfunktion oder Autokorrelationsfunktion des stochastischen Prozesses.

Verallgemeinerungen

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Es gibt ein analoges Konzept für komplexwertige stochastische Prozesse   mit Realisierungen  , wobei   für   gilt und   die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet.[1] Wenn der Prozess endliche Varianzen besitzt, dann heißt die Funktion  ,

 

die Kovarianzfunktion des Prozesses  . Dabei ist für eine komplexwertige Zufallsvariable   der Erwartungswert als   definiert und die komplexwertige Zufallsvariable   bezeichnet die konjugiert komplexe Variable zu  .

Wenn alle Varianzen positiv sind, ist  ,

 

die Korrelationsfunktion (oder Autokorrelationsfunktion) des komplexwertigen stochastischen Prozesses.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. a b P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Kovarianzfunktion, S. 208–209.