Projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen

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Eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen, kurz projektive Familie, manchmal auch konsistente Familie (von Wahrscheinlichkeitsmaßen) genannt, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen, an deren Verteilungen der Projektionen auf die Komponenten besondere Anforderungen gestellt werden. Projektive Familien finden beispielsweise Verwendung bei dem Beweis des Satzes von Andersen-Jessen oder der Formulierung des Erweiterungssatzes von Kolmogorov, der die Existenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen mit vorgegebenen Eigenschaften auf überabzählbaren Produkträumen garantiert und dadurch auch wichtige Existenzaussagen für stochastische Prozesse liefert.

Definition

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Gegeben sei eine beliebige nichtleere Indexmenge   und Messräume   für  . Für beliebiges   sei

 

das Produkt der Messräume und

 

die Projektion auf die Komponenten der Indexmenge  . Des Weiteren sei   die Menge aller nichtleeren, endlichen Teilmengen von  .

Eine Familie   von Wahrscheinlichkeitsmaßen heißt dann eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen, wenn für jede Teilmenge   der endlichen Menge   gilt, dass

 

ist. Die Wahrscheinlichkeitsmaße der kleineren Indexmenge sollen also mit der Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmaße der großen Indexmenge unter der Projektion auf die Komponenten übereinstimmen.

Beispiel

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Gegeben sei eine beliebige Indexmenge   und ein Messraum

 

versehen mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß  . Aufgrund der Eigenschaften der Projektion gilt   für  . Somit ist jede Familie

 

projektiv.

Bemerkung

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Das obige Beispiel zeigt, dass die Projektivität einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen notwendig für die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf dem Produktraum ist. Für Borel’sche Räume liefert der Erweiterungssatz von Kolmogorov auch die Umkehrung. Hier bestimmt die projektive Familie ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Produktraum bereits eindeutig.

Literatur

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