Strukturfaktor

Maß für das Streuvermögen einer Kristallbasis
(Weitergeleitet von Atomformfaktor)

Der Strukturfaktor ist ein Maß für das Streuvermögen einer Kristallbasis. Er gibt die relative Intensität des durch die Laue-Indizes , , bestimmten Beugungsreflexes an. Der Strukturfaktor hängt ab vom Aufbau der Basis, dem Streuvermögen der Basisatome und ihrer thermischen Bewegung. Die Richtung, in welcher die Beugungsreflexe beobachtet werden können, werden von der Bragg- bzw. äquivalent von der Laue-Bedingung angegeben, die vom reinen Kristallgitter ausgehen (ein punktförmiges Streuzentrum am Gitterpunkt).

Beschreibung Bearbeiten

 
Prinzip der Laue-Bedingung:
nur bei bestimmten Verhältnissen von   und k' interferieren die beiden Strahlen konstruktiv

Man wählt einen Referenzpunkt innerhalb der Elementarzelle als Ursprung. Betrachtet werden zwei infinitesimale Volumenelemente   als Streuzentren, eines am Referenzpunkt  , eines bei  . Der Wellenvektor der einfallenden Strahlung sei  , der der gestreuten sei  . Damit ergibt sich folgender Gangunterschied (Wegdifferenz):

 

Der Phasenunterschied beträgt (die Streuung sei elastisch, also  ):

 

Nach der Laue-Bedingung können Beugungsreflexe nur beobachtet werden, wenn die Änderung des Wellenvektors beim Streuprozess einem Gittervektor   des reziproken Gitters entspricht:

 .

Dies ergibt eingesetzt:

 

Nun integriert man über das Volumen   einer Elementarzelle und gewichtet die Phasenunterschiede   mit dem Streuvermögen   jedes Volumenelements (das Streuvermögen ist je nach Beugungsexperiment die Elektronendichte, die Ladungsdichte oder die Kerndichte, siehe Einleitung). Das Integral bezeichnet man als Strukturfaktor  :

 

mit der imaginären Einheit  .

Die Amplitude der am Kristall gebeugten Welle ist proportional zum Strukturfaktor. Er hängt von den Laue-Indizes  ,  ,   ab, da für den reziproken Gittervektor gilt:  .

Der Strukturfaktor ist die Fouriertransformierte des Streuvermögens (z. B. der Elektronendichte):

 .

Der Vektor   lässt sich als Linearkombination der primitiven Gittervektoren   schreiben:  ; und mit der Relation   lässt sich das Skalarprodukt   im Exponenten auswerten (  entspricht  ):

 

Phasenproblem Bearbeiten

Der Strukturfaktor ist eine komplexe Größe:

 .

Als Ergebnis eines Beugungsexperiments beobachtet man die Intensität der gebeugten Welle, die proportional zum Betragsquadrat des Strukturfaktors ist:

 

Somit gehen alle Phaseninformationen   verloren, die jedoch benötigt werden, um aus den beobachteten Reflexen das Streuvermögen (bzw. die Elektronendichte) zu rekonstruieren (Phasenproblem).

Würde   als Ergebnis einer Messung zur Verfügung stehen, so könnte man die gesuchte Größe   durch nochmalige Fouriertransformation finden:

 

Da aber nur   bekannt ist, müssen Näherungsmethoden wie die Patterson-Methode verwendet werden, um das Phasenproblem zu lösen. Bei der Patterson-Methode wird die nochmalige Fouriertransformation nicht auf   angewendet, sondern auf  .

Atomarer Streufaktor Bearbeiten

Der Ortsvektor   wird nun zerlegt in einen Anteil   vom Bezugspunkt zum Kern des  -ten Atoms und einen Vektor   vom Kern des  -ten Atoms zum betrachteten Volumenelement.

 

In der Gleichung für den Strukturfaktor wird das Integral über die ganze Elementarzelle aufgespalten in eine Summe über kleinere Integrationsgebiete, nämlich über die Volumina   der j einzelnen Atome der Elementarzelle. Dabei ist   das Streuvermögen (z. B. die Elektronendichte) des  -ten Atoms:

 

Letzteres Integral wird atomarer Streufaktor (oder auch Atomformfaktor)   des  -ten Atoms genannt:

 

Damit schreibt sich der Strukturfaktor wie folgt:

 

Mit oben eingeführter Komponentenschreibweise:

 

Betrachtet man zusätzlich noch die thermische Bewegung der Atome, so ist   zeitabhängig. Nun zerlegt man   in einen mittleren Aufenthaltsort   (Gleichgewichtslage, ruhend) und die Auslenkung   (zeitabhängig). Letztere führt auf den Debye-Waller-Faktor.

Beispiel Bearbeiten

Als Beispiel wird der Strukturfaktor für eine Cäsiumchloridstruktur berechnet. Das Gitter ist kubisch-primitiv mit 2-atomiger Basis, die primitiven Gittervektoren sind  ,  ,  . Das eine Basisatom sitzt bei  , das andere bei  .

 

Ist die Summe der Laue-Indizes also gerade, so hat der gebeugte Röntgenstrahl eine hohe Intensität, bei ungerader Summe ist die Intensität minimal.

Haben beide Basisatome denselben atomaren Streufaktor  , so ist bei ungerader Summe die Intensität gleich Null; man spricht von vollständiger Auslöschung. Dies trifft beim kubisch raumzentrierten Gitter (bcc-Gitter) zu, wenn man es im System des kubisch primitiven Gitters mit zwei gleichen Basisatomen beschreibt:

 

Literatur Bearbeiten

  • Borchardt-Ott, Walter: Kristallographie: eine Einführung für Naturwissenschaftler. Springer Verlag.
  • Massa, Werner: Kristallstrukturbestimmung. Teubner Verlag.