Anzahldichte

Anzahl pro Volumen

Die Anzahldichte ist eine Größe, die beschreibt, wie viele zählbare Dinge eines Typs pro Volumenelement vorkommen.[1][2][3][4] Diese Dinge können Objekte, Lebewesen, aber auch abstrakte Entitäten wie Ereignisse sein. Bei der Anzahldichte handelt es sich, wie bei allen Dichten, um eine intensive Größe.

Ein Bienenschwarm hat eine hohe Anzahldichte „Bienen pro Volumen“

Am häufigsten ist die Anzahldichte von Objekten in einem Raumvolumen von Interesse. Deshalb wird die Definition nachfolgend für diese Größe gegeben. Es ist nach diesem Vorbild einfach, sie analog für ebene oder gekrümmte Flächen oder eindimensionale Gebilde (Strecken, Polygonzüge, ebene Kurven, Raumkurven) zu bilden.

Überblick durch BeispieleBearbeiten

In Fachgebieten wie Physik, Astronomie, Chemie, Biologie, Ökologie sind oft Teilchen im engeren Sinne wie Atome, Moleküle, Elektronen, Nukleonen, Photonen oder Sterne, Galaxien etc. gemeint. Die Anzahldichte ist dann gegeben als Anzahl dieser Teilchen, die in einem Bereich des physikalischen Raumes enthalten sind, geteilt durch das Volumen oder den Flächeninhalt oder die Länge des betrachteten Bereichs. Diese Fälle können, wenn nötig, durch die Namen räumliche Anzahldichte (englisch Volume number density), flächenbezogene Anzahldichte (englisch Area number density) oder längenbezogene Anzahldichte (englisch Line number density) unterschieden werden.

Der betrachtete Raumbereich kann durch die Objekte selbst definiert sein, wie zum Beispiel die Grenzen eines Festkörpers, oder auch einfach ein beliebiger Teil des physikalischen Raums. Der Raumbereich kann offen sein, braucht also nicht unbedingt eine materielle Grenze, eine geschlossene materielle Oberfläche, zu besitzen.

In Fachgebieten wie Bevölkerungsgeographie, Demografie, Sozialwissenschaften werden Individuen oder Subjekte gezählt. Mit Bevölkerungsdichte wird die flächenbezogene Anzahldichte der Einwohner eines Staats, einer Stadt usw. bezeichnet. Die Individuen sind die Einwohner, ihre flächenbezogene Dichte ist die Bevölkerungsdichte.

Atomanzahldichten der chemischen ElementeBearbeiten

 
Anzahldichten der Atome der chemischen Elemente bei 20 °C und 1000 hPa. Die Anzahldichten der Atome der 11 bei dieser Temperatur und Druck gasförmigen Elemente liegen in der Größenordnung von 1019 Atomen pro Kubikzentimeter und erscheinen deshalb in der Abbildung, als wären sie Null.

Die Abbildung zeigt die Anzahldichten der Atome (Atomanzahldichten) der chemischen Elemente bei 20 °C als ein Beispiel für die physikalische Größe Anzahldichte. Hervorzuheben ist die Tatsache, dass Kohlenstoff in der Natur in reiner Form als Diamant und als Graphit vorkommt. Diese Kohlenstoffmodifikationen besitzen deutlich unterschiedliche Massendichten und somit auch Atomanzahldichten. Ihre Atomanzahldichten sind in der Abbildung als blauer zw. violetter Punkt hervorgehoben. Kohlenstoff in der Modifikation Diamant hat die mit Abstand größte Atomanzahldichte aller Elemente.

Atomanzahldichte eines idealen GasesBearbeiten

Bei einem Gas bestimmt außer der Temperatur der Druck des Gases die Atomanzahldichte, wobei hier als Beispiel eine Standardbedingung gemäß Maßbezugstemperatur für physikalische Größen gewählt werden soll. Die Temperatur sei 20 °C, die absolute Temperatur folglich  , der Druck  . Für ein ideales Gas ergibt sich die Atomanzahldichte   zu

 .

Dabei ist  , die Boltzmann-Konstante. Werden die Zahlenwerte in diese Formel eingesetzt, ergibt sich die Atomanzahldichte des idealen Gases zu

 

(siehe auch Satz von Avogadro). Die oben angegebenen Atomanzahldichten der 6 natürlich vorkommenden Edelgase weichen nur geringfügig von der Atomanzahldichte des idealen Gases ab. Die größte Abweichung ist bei Helium mit   zu vermerken.

DefinitionBearbeiten

Die räumliche Anzahldichte   ist gleich der Anzahl   der Objekte, die in einem Raumbereich   enthalten sind, geteilt durch das Volumen des Raumbereichs

 

Da diese mathematisch strikte Definition der Anzahldichte im Allgemeinen unpraktikabel ist – für als punktförmig angenommene Atome in einem Kristall würde sich die Anzahldichte beispielsweise als Dirac-Kamm manifestieren –, wird die Anzahldichte in Gebieten, in denen makroskopische Größen untersucht werden, nicht über ein infinitesimales Volumenelement, sondern über einen mesoskopischen Raumbereich   definiert. Dieser mesoskopische Raumbereich muss so gewählt sein, dass eine Mittelung der Größen in diesem Bereich keinen Einfluss auf die makroskopische Physik hat.

Der arithmetische Mittelwert   einer räumlich variierenden Anzahldichte im Raumbereich mit dem Volumen   wird durch

 

bestimmt. Die Anzahl   aller Objekte in einem Raumbereich mit dem Volumen   wird durch Integration berechnet,

 ,

wobei   das Volumenelement des Raumbereichs ist. Besitzen alle Objekte die gleiche Masse  , ist die totale Masse   aller Objekte im Raumbereich mit dem Volumen  

 .

Ähnliche Formeln gelten für andere extensive Größen, die aus Anzahldichten zählbarer Objekte gebildet werden. Für die elektrische Ladung beispielsweise wird die Masse   durch die Gesamtladung   und die Masse   eines Objekts durch die Ladung   eines Objekts in der letzten Formel ersetzt.

EinheitBearbeiten

Die SI-Einheit der räumlichen Anzahldichte ist m−3, oft wird jedoch die Einheit cm−3 verwendet.

Der im Zähler stehenden physikalischen Größe Anzahl ist als Größe der Dimension Zahl im SI-Einheitensystem keine Maßeinheit zugeordnet, die Beifügung eines Hilfsworts, beispielsweise „Stück“, „Einheit[en]“, „Paar“, „Satz“ oder die Bezeichnung der gezählten Objekte/Subjekte (wie zum Beispiel 12 Bäume oder 24 Teilchen) wird jedoch toleriert.

Beispiele für NamensvariantenBearbeiten

Es gibt einige Namensvarianten, mit denen eine Größe Anzahldichte gemeint ist. Stellvertretend sollen hier zwei Beispiele genannt werden.

ObjektdichteBearbeiten

In der Literatur finden sich folgende drei Namensvarianten: Anzahldichte der Objekte, Objektanzahldichte, Objektdichte. Sind die Objekte Teilchen, so führt das auf die Namensvarianten Anzahldichte der Teilchen, Teilchenanzahldichte, Teilchendichte, zum Beispiel Anzahldichte der Atome, Atomanzahldichte, Atomdichte. Nur in den jeweils ersten Namensvarianten kommt durch den Plural schon im Namen zum Ausdruck, dass es sich um eine Größe für viele Objekte, Teilchen oder Atome handelt. Die jeweils dritten Namensvarianten sind doppeldeutig. Es könnte auch die Massendichte eines Objekts, Teilchens oder Atoms gemeint sein. Gibt es für das Objekt Synonyme, vermehren sich die Namensvarianten weiter, zum Beispiel wenn man statt von Teilchen von Partikeln spricht.

Beispiele, wie Anzahldichten ermittelt werdenBearbeiten

Es gibt unterschiedliche Methoden, die Anzahldichte zu bestimmen. Sind Anzahldichten mehrerer Typen von Objekten/Subjekten zu bestimmen, kann das in den allermeisten Fällen auf einen Typ eingeschränkt werden. Nachfolgend wird angenommen, dass nur ein Typ im Raumbereich enthalten ist.

Anzahldichte durch Zählen bestimmenBearbeiten

Unabhängig davon, welche Art einer Anzahldichte berechnet werden soll, am Anfang steht das Zählen. Bereits beim Zählen mit dem Zeigefinger setzt der Mensch sein Abstraktionsvermögen ein.

Eine Anzahldichte der Ökologie ist die Populationsdichte oder Bestandsdichte. Sie betrachtet die Größe einer Population in einem Raumbereich oder einem Flächengebiet. Beispiele für die zu zählenden Objekte sind Fische oder Planktonorganismen in einem See, Bakterien in einem Tank oder Bodenorganismen. Flächenbezogene Populationsdichte werden in Einheiten Individuen pro Quadratmeter, pro Hektar usw. angegeben. Populationsdichten von Vögeln werden insbesondere im Umfeld von Flughäfen bestimmt. Bei der Populationsdichte einer Art speziell in ihrem Siedlungsgebiet wird die Anzahldichte Abundanz genannt.

Anzahldichte durch Massenvergleich bestimmenBearbeiten

Jedes der Objekte im Raumbereich besitze die Masse   und die Gesamtmasse aller Objekte sei  . Um die Objekte im Raumbereich zu zählen, kann in der klassischen Mechanik die Masse aller Objekte und die Masse eines einzelnen Objekts gemessen und daraus die Anzahl   der Objekte berechnet werden:

 

Ist das Volumen   des Raumbereichs bestimmt, folgt daraus die Anzahldichte  

 .

Eine verbreitete Anwendung dieser Formel ist die Berechnung der Anzahldichte für Atome bei gegebener Massendichte und der Masse eines Atoms in einem gegebenen Raumbereich.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Einheiten und Begriffe für physikalische Größen: Normen. 9. Aufl., Stand der abgedr. Normen: Januar 2009. Beuth, Berlin 2009, ISBN 978-3-410-17239-0 (684 S.).
  2. Formelzeichen, Formelsatz, mathematische Zeichen und Begriffe: Normen. 3. Aufl., Stand der abgedruckten Normen: Januar 2009. Beuth, Berlin, Wien, Zürich 2009, ISBN 978-3-410-17244-4.
  3. DIN 25401: Begriffe der Kerntechnik, nur auf CD-ROM. Beuth, Dezember 2015 (online). In der letzten gedruckten Ausgabe der Norm, der Vorgängerausgabe von 2002-04, ist auf S. 19 unter Punkt 3.103 neben dem aktuellen Namen der Größe Neutronenanzahldichte auch der frühere Name Neutronendichte angegeben.
  4. Lexikon der Physik – Spektrum der Wissenschaft. Abgerufen am 12. Februar 2018.