Verallgemeinerte Poisson-Verteilung
Die verallgemeinerte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Sie ist eine univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den natürlichen Zahlen, die vor allem in der Versicherungsmathematik verwendet wird. Im Vergleich zur Poisson-Verteilung besitzt sie zwei Parameter, ist dadurch wesentlich flexibler als diese.
Definition Bearbeiten
Eine diskrete Zufallsvariable unterliegt der Verallgemeinerten Poisson-Verteilung mit den Parametern (Ereignisrate) und , wenn sie die Wahrscheinlichkeiten
besitzt. Setzt man , so ergibt sich die gewöhnliche Poisson-Verteilung zum Erwartungswert .
Eigenschaften Bearbeiten
- Die Varianz ist immer mindestens so groß wie der Erwartungswert (für sogar größer). Diese Eigenschaft nennt man Überdispersion (englisch overdispersion).
- Für die verallgemeinerte Poisson-Verteilung sind Rekursionen für die Summenverteilung bekannt, wie man sie auch von der Panjer-Verteilung kennt.
- Für viele Anwendungsfälle ist die implizite Definition der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ausreichend.
Erwartungswert Bearbeiten
Der Erwartungswert ergibt sich zu
- .
Varianz Bearbeiten
Für die Varianz erhält man
- .
Standardabweichung Bearbeiten
Aus der Varianz erhält man wie üblich die Standardabweichung
- .
Variationskoeffizient Bearbeiten
Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:
- .
Schiefe Bearbeiten
Die Schiefe lässt sich darstellen als
- .
Charakteristische Funktion Bearbeiten
Die charakteristische Funktion hat die Form
- mit .
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Bearbeiten
Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man
- mit .
Momenterzeugende Funktion Bearbeiten
Die momenterzeugende Funktion der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ist
- mit .
