Fréchet-Verteilung

Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen positiven reellen Formparameter $\alpha$ besitzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Verteilungs- und Dichtefunktion Bearbeiten

Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter $\alpha >0$ die Verteilungsfunktion

{\Phi }_{\alpha }(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\\exp(-x^{-\alpha })=\exp(-1/x{^{\alpha }})&{\text{für }}x>0\end{cases}}\;.

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

{\phi }_{\alpha }(x)=\alpha \;x^{-(\alpha +1)}\;e^{-x^{-\alpha }}\quad {\text{für }}x>0

Momente und Median Bearbeiten

Im Folgenden sei $X$ eine $\alpha$ -Fréchet-verteilten Zufallsvariable und $\Gamma \left(x\right)$ die Gamma-Funktion.

Median Bearbeiten

Der Median ist

\operatorname {Med} (X)=\left({\frac {1}{\log _{e}(2)}}\right)^{1/\alpha }

Existenz von Momenten Bearbeiten

Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn $\alpha >k$ .

Erwartungswert Bearbeiten

Der Erwartungswert ist

\operatorname {E} (X)=\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)

.

Varianz Bearbeiten

Die Varianz ist

\operatorname {Var} (X)=\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}

Schiefe Bearbeiten

Die Schiefe ist

\gamma _{m}(X)={\frac {\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)-3\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+2\Gamma ^{3}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)}{\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{\frac {3}{2}}}}

Kurtosis Bearbeiten

Die Kurtosis ist

\operatorname {Kurt} (X)=-6+{\frac {\Gamma \left(1-{\frac {4}{\alpha }}\right)-4\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+3\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)}{\left[\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right]^{2}}}

Zusammenhang mit anderen Verteilungen Bearbeiten

Ist $X$ Fréchet-verteilt mit Parameter $\alpha$ , so ist $\ln X$ Gumbel-verteilt mit Parametern $\mu =0$ und $\beta ={\frac {1}{\alpha }}$ .

Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.

Anwendung Bearbeiten

Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

Literatur Bearbeiten

J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.
J. Franke, C. M. Hafner, W. Härdle: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2004, ISBN 3-540-40558-5.

Einzelnachweise Bearbeiten

mathematik.uni-kl.de – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011