Wohlfahrtstheoreme

mathematischer Satz

Die Wohlfahrtstheoreme (auch Hauptsätze der Wohlfahrtsökonomik) sind zwei fundamentale Lehrsätze der Wohlfahrtsökonomik aus dem mikroökonomischen Bereich der Volkswirtschaftslehre.

Einführende DarstellungBearbeiten

Beide Theoreme gelten unter der Voraussetzung von vollkommenem Wettbewerb, in dem sich alle Marktteilnehmer als Preisnehmer verhalten und es keine Externalitäten gibt. Unter diesen Voraussetzungen bezeichnet man einen Zustand, bei dem Angebot und Nachfrage auf allen Märkten übereinstimmen, als Wettbewerbsgleichgewicht. Die Realität ist komplizierter, dennoch werden die folgenden Ergebnisse als wichtige Ausgangspunkte für die weiterführende Forschung angesehen.

Erstes WohlfahrtstheoremBearbeiten

Bei vollkommenem Wettbewerb ist jedes (allgemeine) Wettbewerbsgleichgewicht ein Pareto-Optimum.

Anders ausgedrückt kann in einem Wettbewerbsgleichgewicht niemand besser gestellt werden, ohne dass ein anderer schlechter gestellt wird. Dieser Satz geht insbesondere auf Arbeiten von Kenneth Arrow und Gérard Debreu, nach entscheidender Vorarbeit von Léon Walras, zurück. Er formalisiert Adam Smiths Vorstellung, dass Märkte wie eine unsichtbare Hand funktionieren.[1]

Zweites WohlfahrtstheoremBearbeiten

Unter bestimmten einschränkenden Voraussetzungen kann jede Pareto-optimale Allokation als Wettbewerbsgleichgewicht realisiert werden, das heißt, es gibt Anfangsausstattungen und Preise, die garantieren, dass gegeben eine Pareto-optimale Allokation alle Haushalte ihren Nutzen und alle Unternehmen ihren Gewinn maximieren und alle Pläne kompatibel sind.[2]

Hiernach lassen sich die beiden Kardinalfragen der Volkswirtschaftslehre, nämlich Effizienz und Verteilungsgerechtigkeit, voneinander trennen: Um dasjenige Pareto-Optimum zu erreichen, das gerecht erscheint, braucht man nicht die Marktwirtschaft abzuschaffen, sondern es genügt, die Anfangsausstattungen der Marktteilnehmer anzupassen.

Formale DarstellungBearbeiten

Vereinbarungen und DefinitionenBearbeiten

Grundlegendes; Notation

Betrachtet sei eine Ökonomie aus n Märkten. Die Preise auf diesen Märkten werden in einem Preisvektor   für n Güter zusammengefasst, wobei  . In der Ökonomie gebe es weiter   Konsumenten und   Firmen, wobei für diese beiden Gruppen entsprechend die Indexmengen   (die Menge aller Konsumenten) bzw.   (die Menge aller Produzenten) definiert werden. Betrachtet werden nun nacheinander Konsumenten und Produzenten, danach die anfängliche Ausstattung der Ökonomie:

  • Konsumprofil  . Das Konsumprofil   einer Person   gibt Auskunft, welche Menge Person i von jedem der n Güter konsumiert.
  • Konsummöglichkeitsmenge  . Die Menge   erfasst alle möglichen Konsumprofile von Person i (Konsummöglichkeitenmenge).
  • Nutzenfunktion  . Die Präferenzstruktur eines jeden Individuums   findet wiederum in seiner Nutzenfunktion Ausdruck.
  • Technologie  . Die Produktion eines Unternehmens   ist gegeben durch die Technologie  .
  • Produktionsmöglichkeitenmenge  . Die Menge   erfasst alle möglichen Technologien der Firma j.
  • Ausstattungsvektor  . Die anfänglichen Bestände an den jeweiligen Gütern sind durch einen Ausstattungsvektor   gegeben.
  • Ausstattung einer Person  . Wir vereinbaren weiter   als die Ausstattung einer Person   (bezüglich aller Güter).
Definition – Ökonomie

Mit den vereinbarten Definitionen hinsichtlich der Präferenzstruktur der Individuen, der technologischen Kapazitäten der Produzenten und der Ressourcenbestände lässt sich eine Ökonomie durch das Tupel

 

charakterisieren.

Definition – Allokationen und zulässige Allokationen

Durch einen  -Allokationsvektor   ist wiederum ein konkreter „Zustand“ von   (mit spezifischem Konsum- und Produktionsvektoren für jeden Konsumenten bzw. Produzenten) gegeben. Eine solche Allokation bezeichnet man als zulässig, wenn für jede Ressource gilt, dass die insgesamt konsumierte Menge gerade der Anfangsausstattung zuzüglich der insgesamt produzierten Menge entspricht, mithin also wenn

 

gilt.

Definition – Pareto-Effizienz von Allokationen

Eine Allokation ist überdies Pareto-effizient, wenn es keine Möglichkeit gibt, die Ressourcen so zwischen Konsumenten umzuverteilen, dass jeder zumindest den gleichen Nutzen hat, mindestens eine Person aber sogar einen Nutzenzuwachs erfährt. Formal ist die Allokation   Pareto-effizient genau dann, wenn sie zulässig ist (siehe oben) und keine andere zulässige Allokation   existiert, sodass   für alle   und   für gewisses  .

Definition – Wettbewerbsökonomie mit Privateigentum

Betrachtet werde nun eine spezielle Ökonomie, und zwar ein Wettbewerbssystem, in dem alle Firmen (und ihre Gewinne) privates Eigentum darstellen, das heißt die Gewinne sind Bestandteil des aggregierten Konsumbudgets. Da es sich um eine Wettbewerbsökonomie handelt, werden Güter überdies dezentral auf Wettbewerbsmärkten gehandelt, wobei die Marktakteure als Preisnehmer agieren: Konsumenten maximieren ihren Nutzen, Produzenten ihre Gewinne. Aus der Privateigentumsannahme ergibt sich formal, dass sich das Budget der Konsumenten aus zwei Komponenten zusammensetzt: Zum einen aus einem Anteil   an der Anfangsausstattung, zum anderen aus einem Anteil an den Gewinnen der Produzenten. Dieser Anteil betrage gerade   mit   (  wäre also beispielsweise der Anteil, den Person i an den Gewinnen von Produzent 4 für sich in Anspruch nehmen kann). Entsprechend den Voraussetzungen ist   und  . Eine solche Ökonomie lässt sich dann als Tupel

 

beschreiben.

Definition – (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht für  

Für die Wettbewerbsökonomie mit Privateigentum   ist ein Wettbewerbsgleichgewicht definiert als ein Tupel

 

für den folgende Eigenschaften gelten:

  1. Die Allokation   ist in   zulässig.
  2. Jedes Unternehmen maximiert, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise, seinen Gewinn, das heißt für alle   gilt:   für alle  .
  3. Jede Person maximiert ihren Nutzen, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise und ihr Konsumbudget. Genauer: Sei   die Menge aller Konsumvektoren  , die der Budgetbedingung genügen:
     
Dann ist   und es gilt:   für alle  .

Ein solches Gleichgewicht bezeichnet man als walrasianisches Gleichgewicht.

Erster HauptsatzBearbeiten

Erster Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik[3]: Sei   die betrachtete Ökonomie. Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen   ( ) zugrunde liegende Präferenzordnung lokal nicht gesättigt (oder, im Spezialfall: streng monoton). Sei weiter

 

ein walrasianisches Gleichgewicht.

Dann ist die daraus abgeleitete walrasianische Gleichgewichtsallokation

 

für   Pareto-effizient.

Eine etwas allgemeinere Definition greift auf das im Folgenden erläuterte Konzept eines Quasi-Gleichgewichts zurück; sie erfordert dann nicht wie hier die spezifische Ökonomie  , sondern gilt allgemein. Hierfür wird auf eine Fußnote verwiesen.[4]

Zusätzliche DefinitionenBearbeiten

Definition – Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers für  

Wir weiten die engen Vorgaben des walrasianischen Gleichgewichts wieder etwas auf, indem wir das Gleichgewichtskonzept auf die „abstraktere“ Ökonomie   übertragen. Voraussetzung für das (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht für   ist, dass jedes Individuum nur so viel zur Verfügung hat, wie sich aus (dem Wert) seiner ursprünglichen Güterausstattung und den anteiligen Unternehmensgewinnen zusammensetzt, die ihm zustehen. Das in diesem Abschnitt behandelte Gleichgewichtskonzept kennt noch eine weitere Komponente der Wohlstandsbestimmung: die Transferzahlung. Man kann sich dies praktisch beispielsweise als einmalige (positive oder negative) Steuer vorstellen, durch die ein sozialer Planer vor der Wettbewerbstätigkeit in der Ökonomie Mittel zwischen den Konsumenten „verschiebt“.

Man definiert nun zunächst ein Maß für den individuellen Wohlstand   für alle Konsumenten. Dies geschieht mittels des Vektors  .

Für die Wettbewerbsökonomie   ist dann

 

ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers genau dann, wenn es ein Tupel   mit   gibt, sodass gilt:

  1. Die Allokation   ist in   zulässig.
  2. Jedes Unternehmen maximiert, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise, seinen Gewinn, das heißt für alle   gilt:   für alle  .
  3. Jede Person maximiert ihren Nutzen, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise und ihr Konsumbudget. Genauer: Sei   die Menge aller Konsumvektoren  , die der Budgetbedingung genügen:
     
Dann ist   und es gilt:   für alle  .

Insbesondere ist das walrasianische Gleichgewicht ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers.[5]

Zweiter HauptsatzBearbeiten

Zweiter Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik[6]: Sei   die betrachtete Ökonomie. Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen   ( ) zugrunde liegende Präferenzordnung lokal nicht gesättigt (oder, im Spezialfall: streng monoton) und darüber hinaus konvex. Sei weiter   konvex für alle  .

Dann existiert zu jeder Pareto-optimalen Allokation   ein Preisvektor  , sodass   ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers bildet.

BeweiseBearbeiten

Beweis des Ersten HauptsatzesBearbeiten

Beweis durch Widerspruch[7]: Man nehme an, dass die sich aus dem Preisnehmer-Wettbewerbsgleichgewicht ergebende Allokation   für   nicht Pareto-optimal ist. Dann gibt es definitionsgemäß eine zulässige Allokation   für   mit

  1.   für alle i und
  2.   für mindestens ein Individuum  .

Es ist zu zeigen, dass eine solche zulässige Allokation nicht existiert. Hierzu gehe man schrittweise vor.

  • a) Da   das (Preisnehmer-)Wettbewerbgleichgewicht für   ist (mit   dem Budget), muss auch gelten, dass  .
    (Denn wäre stattdessen  , gäbe es in einer Umgebung um   ein  , das strikt gegenüber   vorgezogen wird [lokale Nichtsättigung] und das ja ebenfalls der Budgetbedingung genügt – dann aber wäre   nicht das optimale Konsumbündel, vgl. Punkt 3 in der Definition des (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewichtes. Salopp gesagt muss also eine Pareto-superiore Allokation zu teuer sein, sonst könnte die Pareto-unterlegene Allokation ja nicht gleichgewichtig sein.)
  • b) Aus 2. folgt, dass  , denn   zieht   gegenüber   strikt vor. Wäre   also gleich groß oder sogar kleiner als  , würde im Gleichgewicht sicherlich   gewählt – im Widerspruch zur Eigenschaft 1 in der Definition des (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewichtes.
  • c) Nach Voraussetzung ist für jeden Produzenten j   die gewinnmaximierende Produktionsmenge zum Preis  , weshalb notwendigerweise auch  , denn wäre stattdessen  , würde   die Eigenschaft 2 in der Definition des (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewichtes nicht erfüllen.
  • d) Jede Person befindet sich in ihrer durch   gegebenen Budgetmenge.
  • e) Da nach Voraussetzung   und   für alle   (siehe die Definition der Wettbewerbs-Tauschökonomie), liefert Summieren über die Gleichung in d), dass auch  
  • f) Aus c) und e) folgt, dass  .
  • g) a) und b) in f) eingesetzt ergeben  

Daraus folgt aber nach der Definition der Zulässigkeit von Allokationen (siehe oben), dass   nicht zulässig ist, im Widerspruch zur Annahme, q. e. d.

Beweis des Zweiten HauptsatzesBearbeiten

Der nachfolgende Beweis folgt ganz überwiegend dem weit verbreiteten Beweisverfahren aus Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 552 ff.

Sei für alle   eine Menge

 

definiert (die obere Konturmenge von   bzw. die Menge aller Konsumvektoren, die einen höheren Nutzen als   stiften). Summiert man diese Menge über alle i, erhält man

 ,

das heißt die Menge aller individuellen Konsumpläne (zusammengefasst zu einem Vektor  ), durch die sämtliche Individuen strikt besser gestellt sind als mit  . Analog ist für alle   eine Menge

 

definiert, die Menge sämtlicher Produktionspläne auf gesamtwirtschaftlicher Ebene. Diese aggregierte Produktionsmenge lässt sich um den Ausstattungsvektor   verschieben, wodurch man die aggregierte Menge der Konsummöglichkeiten,

 ,

erhält.

Seien   und   beide Elemente von  . Dann ist nach Definition   und  . Sei nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit  . Die Konvexitätseigenschaft der Präferenzordnung impliziert, dass für beliebiges   auch  . Da Präferenzordnungen zudem transitiv sind, gilt auch, dass  . Also ist   eine konvexe Menge[8].
  • b) V ist als Summe konvexer Mengen konvex, ebenso wie Y, auch nach Verschiebung um   auf A.
  • c) Es ist  .
Wegen der Pareto-Optimalität der Allokation   (nach Voraussetzung) ist   (es darf kein mögliches „Angebot“ geben, das auch in V enthalten ist, sonst gäbe es eine Allokation, die mit gegebener Technologie und Ausstattung produzierbar ist und der anderen vorgezogen würde; dann aber könnte die Ausgangsallokation erst gar nicht Pareto-optimal sein).
  • d) Es existiert ein Preisvektor   und ein  , sodass 1.   für alle   und 2.   für alle  .
Dies folgt aus einer auf Minkowski zurückgehenden[9] Version des Trennungssatzes für disjunkte konvexe Mengen in normierten Räumen durch reelle affine Hyperebenen, wonach für zwei disjunkte, nichtleere und konvexe Untermengen des  , A und B, gilt, dass eine Hyperebene existiert, die A von B trennt, das heißt, es existiert ein  , sodass  , oder, anders formuliert, es existiert ein nichtleeres   und ein  , sodass für alle   und für alle   gilt, dass  .[10] (Zum Beweis des Theorems vgl. verkürzt Mas-Colell 1995, S. 948 und vollständig Moore 1999[11], S. 297 ff.)
  • e) Wenn   für alle i, dann auch  .
Wegen Nichtsättigung gibt es nämlich für jeden Konsumenten   ein Konsumbündel   in einer beliebig kleinen Umgebung um  , mit dem   und also  . Folglich ist nun auch   und demnach gemäß Minkowski-Theorem  , sodass mit   für alle i im Grenzwert auch  .
  • f) Es gilt  .
Nach vorigem Punkt ist  . Zugleich ist aber   ( ) und also  . Es folgt, dass   und wegen   auch  .
  • g) Es gilt  .
Es ist   für alle  . Für jedes   und für alle   gilt, dass  . Gemeinsam impliziert dies  , also auch  . Daraus wiederum folgt für alle   und für alle  , dass  .
  • h) Wenn  , dann auch  .
Wenn  , dann nämlich nach e) und f) auch   und deshalb  .

Da überdies   zulässig nach Voraussetzung, gewährleistet also die Wahl von   (für alle  ) die Existenz des Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewichts mit Transfers  , q. e. d.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

AnmerkungenBearbeiten

  1. Vgl. Feldmann 2008.
  2. Ähnlich Friedrich Breyer: Mikroökonomik. Eine Einführung. 5. Aufl. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-642-22150-7, S. 212.
  3. Vereinfacht zu Mas-Colell/Whinston 1995, S. 546–549.
  4. Sei   die betrachtete Ökonomie. Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen   ( ) zugrunde liegende Präferenzordnung lokal nicht gesättigt (oder, im Spezialfall: streng monoton). Sei weiter :  ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers. Dann ist die daraus abgeleitete Gleichgewichtsallokation :  für   Pareto-effizient. Vgl. Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 549 f.
  5. Dort ist ja nach Definition  , was die obige Anforderung an   offensichtlich erfüllt.
  6. Vgl. Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 552; Moore 2007, S. 213.
  7. Der Beweis folgt dem schrittweisen Beweisverfahren bei Sam Bucovetsky: General Equilibrium and Welfare (Chapter 16). Vorlesungsnotizen. Internet Archivlink (Memento vom 2. Februar 2014 im Internet Archive) (PDF-Datei). Das konkrete Vorgehen selbst basiert auf Mas-Colell/Whinston 1995, S. 549 f., wo jedoch eine leicht verallgemeinerte Version bewiesen wird und Teilschritte ausgespart sind. Die Beweisidee über den Widerspruchsbeweis geht zurück auf Kenneth Arrow: An extension of the basic theorems of classical Welfare Economics. In: Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. University of California, Berkeley 1951. Vgl. Alexandre B. Cunha: Arbeitspapier. S. 1 sowie Feldmann 2008.
  8. Eine Menge V ist konvex, wenn   und      .
  9. Vgl. Knut Sydsaeter, Arne Strøm und Peter Berck: Economists’ mathematical manual. 4. Aufl. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 978-3-540-26088-2 (auch als E-Book: doi:10.1007/3-540-28518-0), S. 90.
  10. Vgl. Mas-Colell 1995, S. 948 und James C. Moore: General equilibrium and welfare economics. An introduction. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (auch als E-Book: doi:10.1007/978-3-540-32223-8), S. 172.
  11. James C. Moore: Mathematical methods for economic theory. Bd. 1. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-66235-9.