Weg (Graphentheorie)

Graphentheorie

In der Graphentheorie wird eine Folge von Knoten, in welcher jeweils zwei aufeinanderfolgende Knoten durch eine Kante verbunden sind, als Weg (manchmal auch als Pfad) bezeichnet. Eine Folge von Kanten, in welcher jeweils zwei aufeinanderfolgende Kanten einen gemeinsamen Knoten haben, wird als Kantenzug (manchmal auch als Kantenfolge) bezeichnet.

Ein Graph, der einen Weg mit den Knoten B, C, F sowie die Kantenfolge D,{D,E},E,{E,B},B,{B,A},A,{A,E},E,{E,F},F enthält

DefinitionenBearbeiten

WegBearbeiten

Ein nichtleerer Graph   mit der Knotenmenge   und der Kantenmenge   mit   heißt Weg, wenn die Knoten   mit   paarweise verschieden sind. Auch ein Graph mit einer Knotenmenge   (d. h. mit einem Knoten) und einer leeren Kantenmenge wird meistens als Weg (der Länge 0) bezeichnet.

Oft wird, vor allem im Falle von schlichten Graphen, ein Weg der Einfachheit halber durch die Folge seiner benachbarten Knoten   angegeben. Hierbei gilt es, zu beachten, dass auch die gespiegelte Folge   diesen Weg darstellt. Nach dieser Definition besitzen Wege keine ausgezeichnete Richtung.

Die Knoten   und   nennt man die Endknoten des Weges, wobei   als Anfangsknoten und   als Endeknoten bezeichnet wird. Knoten, die keine Endknoten sind, nennt man auch innere Knoten. Durch die Anordnung der Knoten eines Weges in Form einer Folge können auch seine Kanten eindeutig als Folge   angeordnet werden.

Im sprachlichen Gebrauch sagt man oft, ein Graph enthalte einen Weg oder eine Folge   von benachbarten Knoten eines Graphes sei ein Weg des Graphen. Das soll bedeuten, dass dieser Weg ein Teilgraph des Graphen ist.

Je nach Kontext kann man den Begriff Weg anpassen. Bei gerichteten Graphen müssen zum Beispiel alle aufeinanderfolgenden Knoten   und   durch eine gerichtete Kante   verbunden sein, sodass der Weg auch eine Richtung angibt.

Der Begriff des Weges wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet. Die angegebene Definition folgt im Wesentlichen den Büchern von Diestel[1] und Lovász[2]. Die Beschreibung eines Weges über die Folge der benachbarten Knoten erfolgt bei Aigner[3] und Kőnig[4]. Gelegentlich wird auch der Begriff Pfad für einen Weg verwendet (Steger)[5], wohl deshalb, weil in der englischsprachigen Literatur Weg als path, teilweise aber auch als simple path bezeichnet wird.

KantenzugBearbeiten

In einem (ungerichteten) Graphen nennt man eine Folge  , in der sich Knoten und Kanten des Graphen abwechseln und für die gilt, dass für   die Kante   die Knoten   und   verbindet, einen Kantenzug des Graphen. Diese Definition ist sowohl für Multigraphen als auch für Hypergraphen anwendbar. Für einfache Graphen kann man dagegen fordern, dass die Kanten   die Form   haben müssen. Im Allgemeinen können sich Kanten und Knoten innerhalb eines Kantenzuges wiederholen. Wie bei einem Weg nennt man die Knoten   und   die Endknoten des Kantenzuges, wobei   als Anfangsknoten und   als Endeknoten bezeichnet wird, und die Knoten, die keine Endknoten sind, innere Knoten.

Jeder Weg bildet auch einen Kantenzug, indem seine Knoten- und Kantenfolgen alternierend zusammengefügt werden. Umgekehrt impliziert ein Kantenzug von   nach   die Existenz eines Weges mit den Endknoten   und  . Diesen Weg enthält man, indem Zyklen im Kantenzug sukzessive eliminiert werden. Für einen Kantenzug oder sogar Weg in einem Multigraphen bzw. Hypergraphen reicht es nicht aus, die Knoten des Kantenzuges/Weges anzugeben (es kann mehr als eine Kante zwischen zwei Knoten geben bzw. zwei Knoten können jeweils mit weiteren Knoten durch verschiedene Hyperkanten verbunden sein). In diesem Fall ist ein Weg auch nur durch den entsprechenden Kantenzug eindeutig festgelegt. Umgekehrt ist in jedem Multigraphen (jedoch nicht in jedem Hypergraphen!) ein Kantenzug bereits durch seine Kantenfolge   eindeutig definiert (zwei benachbarte Kanten haben genau einen gemeinsamen Knoten).

Auch der Begriff des Kantenzuges wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Die hier angegebene Definition orientiert sich an den Büchern von Diestel und Lovász u. a.[1][2] Aigner und Kőnig sprechen in ihren Büchern hingegen von Kantenfolgen.[3][4] Kőnig benutzt den Begriff Kantenzug, um deutlich zu machen, dass sich keine Kanten wiederholen (engl. trail).[4] Mitunter wird auch der Begriff Weg für Kantenzug benutzt (Steger).[5] Auch in der englischsprachigen Literatur wird der Begriff nicht einheitlich benutzt, er wird jedoch meistens mit walk bezeichnet, mitunter aber auch als path.

Bei Rudolf Halin wird für gerichtete Graphen eine Kantenfolge (im hiesigen Sinne), bei der kein Knoten und keine Kante mehr als einmal auftreten, auch als Kantenzug oder kürzer als Bahn bezeichnet.[6] Horst Sachs dagegen nennt eine solche eine elementare Bahn.[7]

Zyklus, Kreis, EulerzugBearbeiten

Kantenzüge, bei denen die Endknoten identisch sind (d. h. der erste und der letzte Knoten übereinstimmen), heißen geschlossen. Einen geschlossenen Kantenzug, in dem keine Kante mehrfach vorkommt, nennt man Zyklus (eng. circuit). Wenn die Endknoten die einzigen mehrfach in der Knotenfolge des Kantenzuges enthaltenen Knoten sind, heißt dieser Kantenzug Kreis (engl. cycle). Einen Kreis erhält man auch, indem die Endknoten eines Weges durch eine zusätzliche Kante verbunden werden.[1]

Ein besonderes Interesse gilt solchen geschlossenen Kantenzügen, in denen jede Kante des Graphen genau einmal auftritt. Einen solchen Kantenzug bzw. Zyklus nennt man nach Leonhard Euler eulersch oder einfach einen Eulerzug oder auch eine eulersche Linie. Die Existenz solcher wurde von Euler im Zusammenhang mit der Lösung des Königsberger Brückenproblems (1736) untersucht, welches als eines der Initialprobleme der Graphentheorie gilt.[8][9]

A-B-Weg, v-w-Weg, a-B-FächerBearbeiten

Sind   und   Teilmengen von der Knotenmenge   eines Graphen, so bezeichnet man einen Weg als  - -Weg, falls einer seiner Endknoten in   und der andere in   liegt. Statt von einem  - -Weg spricht man auch von einem  - -Weg. Eine Menge von  - -Wegen nennt man einen  - -Fächer, wenn die Wege paarweise nur den Knoten   gemeinsam haben.

Disjunkte WegeBearbeiten

Zwei Wege   und   in einem Graphen heißen kreuzungsfrei, knotendisjunkt oder einfach nur disjunkt, wenn es kein Paar   mit   aus   und   aus   gibt, für das   ist, sie also keine inneren Knoten gemeinsam haben.

Eine Menge von Wegen nennt man kreuzungsfrei, knotendisjunkt oder disjunkt, wenn die Wege paarweise disjunkt sind.

Eine Menge disjunkter Wege in einem Graphen mit der Eigenschaft, dass jeder Knoten des Graphen auf einem dieser Wege liegt, heißt Wegüberdeckung des Graphen.

Länge und AbstandBearbeiten

In Graphen ohne Gewichte auf den Kanten bezeichnet man mit der Länge eines Weges oder Kantenzuges die Anzahl seiner Kanten. In kantengewichteten Graphen bezeichnet man als Länge eines Weges die Summe der Kantengewichte aller zugehörigen Kanten. Die Länge des längsten Weges in einem Graphen nennt man Umfang des Graphen.

Als einen kürzesten Weg von einem Knoten   zu einem Knoten   in einem Graphen bezeichnet man einen Weg von   nach  , dessen Länge minimal ist. Die Länge eines kürzesten Weges nennt man dann Abstand oder Distanz von   nach  . Die Exzentrizität eines Knotens   ist der maximale Abstand zu allen anderen Knoten   des Graphen. Der Rand eines Graphens ist die Menge der Knoten mit maximaler Exzentrizität. Man beachte, dass in gerichteten Graphen der Abstand von der Richtung des Weges abhängt. Insbesondere kann es sein, dass nur in eine Richtung ein gerichteter Weg existiert.

Den größten Abstand zwischen zwei Knoten in einem Graphen   nennt man den Durchmesser   des Graphen. Der Durchmesser ist damit das Maximum aller Exzentrizitäten der Knoten in  . Der Radius   eines Graphen ist das Minimum der Exzentrizitäten seiner Knoten. Für alle Graphen   gilt

 .

Die Knoten, deren Exzentrizität dem Radius entsprechen, bilden das Zentrum des Graphen.

DistanzgraphBearbeiten

Der Distanzgraph zu einem Graphen   bezeichnet den vollständigen (das heißt, je zwei Knoten sind durch eine Kante verbunden, ggf. in gerichteten Graphen in beide Richtungen, wobei es aber keine Schleifen gibt) kantengewichteten Graphen auf der Knotenmenge  , der jeder Kante als Kantengewicht den Abstand zwischen den beiden Knoten in   zuordnet.

LiteraturBearbeiten

  • Reinhard Diestel: Graphentheorie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York (und weitere) 2006, ISBN 978-3-540-21391-8.
  • Rudolf Halin: Graphentheorie I (= Erträge der Forschung. Band 138). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1980, ISBN 3-534-06767-3 (MR0586234).
  • Dénes Kőnig: Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Mit einer Abhandlung von L. Euler. Hrsg.: H. Sachs (= Teubner-Archiv zur Mathematik. Band 6). BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1986, ISBN 3-211-95830-4.
  • Horst Sachs: Einführung in die Theorie der endlichen Graphen. Carl Hanser Verlag, München 1971, ISBN 3-446-11463-7 (MR0345857).
  • Klaus Wagner: Graphentheorie (= BI-Hochschultaschenbücher. 248/248a). Bibliographisches Institut, Mannheim (u. a.) 1970, ISBN 3-411-00248-4 (MR0282850).

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c Reinhard Diestel: Graphentheorie, 3., neu bearb. und erw. Auflage, Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-21391-0, S. 7ff.
  2. a b László Lovász, Jósef Pelikán, Katalin Vesztergombi: Diskrete Mathematik. Springer, Berlin, 2003, ISBN 0-387-95584-4, S. 163ff.
  3. a b Martin Aigner: Diskrete Mathematik, 6., korr. Auflage, Vieweg, 2006, ISBN 3-8348-0084-8.
  4. a b c Dénes Kőnig: Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1936.
  5. a b Angelika Steger: Diskrete Strukturen, 2. Auflage, Band 1: Kombinatorik, Graphentheorie, Algebra, Springer, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-46660-4, S. 61.
  6. Rudolf Halin: Graphentheorie I. 1980, S. 19
  7. Horst Sachs: Einführung in die Theorie der endlichen Graphen. 1971, S. 118–121
  8. Kőnig, op. cit., S. 35
  9. Rudolf Halin: Graphentheorie I. 1980, S. 18