Vergleichssatz von Rauch

In der Mathematik ist der Vergleichssatz von Rauch, benannt nach Harry Rauch, ein grundlegender Lehrsatz der riemannschen Geometrie.

Formulierung des Satzes

Seien $M_{1},M_{2}$ riemannsche Mannigfaltigkeiten und $\gamma _{1}\colon \left[0,a\right]\to M_{1},\gamma _{2}\colon \left[0,a\right]\to M_{2}$ Geodätische mit $\vert \gamma _{1}^{\prime }(t)\vert =\vert \gamma _{2}^{\prime }(t)\vert$ für alle $t$. Sei $J_{1}$ ein Jacobi-Feld entlang $\gamma _{1}$ und $J_{2}$ ein Jacobi-Feld entlang $\gamma _{2}$ mit

$J_{1}(0)=J_{2}(0)=0,\langle J_{1}^{\prime }(0),\gamma _{1}^{\prime }(0)\rangle =\langle J_{2}^{\prime }(0),\gamma _{2}^{\prime }(0)\rangle ,\vert J_{1}^{\prime }(0)\vert =\vert J_{2}^{\prime }(0)\vert$

Man nehme an, dass $\gamma _{2}$ keine konjugierten Punkte hat und dass für alle $t$ und alle $v_{1}\in T_{\gamma _{1}(t)}M,v_{2}\in T_{\gamma _{2}(t)}M$ die Ungleichung

$K(v_{1},\gamma _{1}^{\prime }(t))\leq K(v_{2},\gamma _{2}^{\prime }(t))$

für die Schnittkrümmungen der aufgespannten Ebenen gilt.

Dann ist

$\vert J_{1}(t)\vert \geq \vert J_{2}(t)\vert$

für alle $t$. Falls für ein $t_{0}$ die Gleichheit $\vert J_{1}(t_{0})\vert =\vert J_{2}(t_{0})\vert$ gilt, muss $K(J_{1}(t),\gamma _{1}^{\prime }(t))=K(J_{2}(t),\gamma _{2}^{\prime }(t))$ für alle $t\in \left[0,t_{0}\right]$ sein.

Folgerungen

Aus dem Vergleichssatz von Rauch folgt ein Dreiecksvergleich für Mannigfaltigkeiten mit einer unteren Krümmungsschranke: In einer Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung $K\geq K_{0}$ sind Dreiecke dicker als Dreiecke mit denselben Seitenlängen in der (einfach zusammenhängenden) Vergleichs-Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung $K_{0}$. (Der analoge Dreiecksvergleich für Mannigfaltigkeiten mit oberer Krümmungsschranke wurde von Alexandrow und Toponogow bewiesen.)

Rauch bewies den Vergleichssatz ursprünglich um zu zeigen, dass eine einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung $0.76\leq K\leq 1$ homöomorph zur Sphäre sein muss. Das wurde später von Klingenberg und Berger zum Sphärensatz verbessert.

Literatur

• H. E. Rauch: A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math. 54 (1951), 38–55
• M. do Carmo: Riemannian geometry, Birkhäuser, Basel (1992). ISBN 978-0-8176-3490-2