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Der Sphärensatz ist ein bedeutendes Resultat aus der globalen riemannschen Geometrie. Nach Vorarbeiten von Harry Rauch bewiesen Wilhelm Klingenberg und Marcel Berger diesen Satz im Jahr 1961.

SphärensatzBearbeiten

(Klassischer) SphärensatzBearbeiten

Sei   eine n-dimensionale, kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung  

 

mit   gilt. Dann ist   homöomorph zur Sphäre.

Differenzierbarer SphärensatzBearbeiten

Erfüllt die riemannsche Mannigfaltigkeit   beziehungsweise deren Schnittkrümmung dieselben Voraussetzungen wie im (klassischen) Sphärensatzes, so ist   diffeomorph zur Sphäre, die mit der normalen differenzierbaren Struktur ausgestattet ist.

Entstehung des SatzesBearbeiten

Der Sphärensatz wurde von Harry Rauch im Jahr 1951 für   bewiesen.[1] Wilhelm Klingenberg brachte dieses Problem mit dem Schnittort in Zusammenhang. In dem Fall, dass die Mannigfaltigkeit gerade Dimension hat und obige Ungleichung bezüglich der Schnittkrümmung erfüllt, war die Entfernung zum Schnittort größergleich   (Lemma von Klingenberg). Mit dieser Aussage bewies Klingenberg den Sphärensatz für   und gerade Dimension.[2] Mit Hilfe des Satzes von Toponogov und des gerade erwähnten Lemmas von Klingenberg bewies 1960 Marcel Berger den Sphärensatz für   und gerader Dimension.[3] Im Jahr 1961 konnte Klingenberg das erwähnte Lemma auch für ungerade Dimension beweisen.[4] Der Beweis für ungerade Dimensionen ist ungleich komplizierter und verwendet Morsetheorie. Dies vollendete den Beweis des Sphärensatzes. Tsukamoto konnte zeigen, dass der Satz von Toponogov für den Beweis des Sphärensatzes nicht notwendig ist.

Im Jahr 2007 gelang es Simon Brendle und Richard Schoen zu beweisen, dass unter obigen Voraussetzungen die Mannigfaltigkeit   sogar diffeomorph zur Sphäre ist.[5]

HilfsaussagenBearbeiten

In diesem Abschnitt werden noch einige Aussagen aufgezeigt, die wichtig für den Beweis des Sphärensatzes sind. Das hier als erstes angegebene Lemma von Klingenberg entspricht dem aus dem obigen Abschnitt.

Lemma von KlingenbergBearbeiten

Sei   eine kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung   die Ungleichung

 

gilt. Dann folgt

 

wobei   den kürzesten Abstand zu einem nächsten Schnittort meint. Dies nennt man auch den injektiven Radius von  

Existenz von HemisphärenBearbeiten

Sei   eine n-dimensionale, kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung   gilt, und seien  , so dass   gilt. Dann folgt

 

wobei   den offenen geodätischen Ball mit Radius   und mit Mittelpunkt   bezeichnet. Die Funktion   gibt den Durchmesser der riemannschen Mannigfaltigkeit an.

Existenz eines ÄquatorsBearbeiten

Unter den zur Existenz von Hemisphären gemachten Voraussetzungen existiert für jede Geodätische mit der Länge   und mit Startpunkt   ein eindeutiger Punkt  , so dass

 

gilt. Genauso gilt für jede Geodätische mit Startpunkt   und Länge  , dass ein eindeutiger Punkt   existiert, welcher äquidistant von   und   ist. Die Funktion   ist die Abstandsfunktion, welche durch die riemannsche Metrik induziert wird.

Weitere AnmerkungenBearbeiten

Konstruierter HomöomorphismusBearbeiten

Berger konstruierte in dem Beweis des Sphärensatzes eine Funktion  , von der er zeigte, dass sie ein Homöomorphismus ist. Sei   für ein   eine Isometrie und sei   der antipodale Punkt von  . Die Funktion   ist nun definiert durch

 

Die Funktion   ist die Exponentialabbildung und   ist die Abstandsfunktion, welche durch die riemannsche Metrik induziert wird.

Optimale SchrankeBearbeiten

Der komplexe projektive Raum   für   ist kompakt und einfach zusammenhängend und die Schnittkrümmung erfüllt die Ungleichung  . Es ist jedoch bekannt, dass der komplex projektive Raum nicht homöomorph zur Sphäre ist. Das heißt bei gerader Dimension   ist   die optimale Schranke. Bei ungerader Dimension ist bekannt, dass der Satz auch für   gilt. Jedoch ist die optimale Schranke noch nicht gefunden worden. Für Dimension   ist der Satz sogar für   richtig.

Satz von HamiltonBearbeiten

Fünfundzwanzig Jahre, bevor der differenzierbare Sphärensatz bewiesen werden konnte, veröffentlichte Richard S. Hamilton im Jahr 1982 einen Satz, den er mit Hilfe von Techniken aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen aus dem (topologischen) Sphärensatz ableitete. Die Aussage des Satzes lautet:[6]

Sei   eine kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension drei mit strikt positiver Ricci-Krümmung. Dann ist   diffeomorph zur Sphäre  .

LiteraturBearbeiten

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
  • Simon Brendle Der Sphärensatz in der Riemannschen Geometrie, Jahresbericht DMV, Band 113, 2011, Heft 3, S. 123–138

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Rauch, H.E., A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math. 54 (1951), 38-55
  2. Klingenberg, W., Contributions to riemannian Geometry in the large, Ann. of Math. 69 (1959), 654-666.
  3. Berger, M., Les variétés Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161-170
  4. Klingenberg, W., Über Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver Krümmung, Comm. Math. Helv. 35 (1961), 47-54.
  5. Brendle, Schoen, Manifolds with 1-4 pinched curvature are space forms, Journal of the AMS, Bd. 22, 2009, S. 287, Classification of manifolds with 1-4 pinched curvature, Acta Mathematica, Bd. 200, 2008, S. 1
  6. Richard S. Hamilton: Three-manifolds with positive Ricci curvature. In: Journal of Differential Geometry. 17, No. 2, 1982, S. 255–306.