Ungleichung von Schur

mathematischer Satz

Die Ungleichung von Schur (englisch Schur’s inequality) ist eine von mehreren klassischen Ungleichungen, die der Mathematiker Issai Schur auf dem mathematischen Gebiet der Analysis beigesteuert hat.[1][2][3]

Darstellung der Ungleichung

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Die Ungleichung lautet folgendermaßen:[1][2][3]

Gegeben seien reelle Zahlen   und dabei gelte  .
Dann besteht die Ungleichung
 
und es gilt hierbei das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die drei Zahlen   alle übereinstimmen.

Anwendung

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In Anwendung der obigen schurschen Ungleichung (mit  ) lässt sich eine der zahlreichen geometrischen Ungleichungen in der Dreiecksgeometrie der euklidischen Ebene herleiten:[4]

Ist in der euklidischen Ebene ein beliebiges Dreieck   gegeben, dessen Seiten die Längen   haben sollen, und ist hier   gleich dem halben Umfang von  , so gilt stets die Ungleichung
 

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. a b D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 119 ff
  2. a b G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. 1964, S. 64
  3. a b Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities. 2009, S. 37–38
  4. Alsina / Nelsen, op. cit., S. 38