Totalkrümmung

In der Kurventheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, wird die Totalkrümmung einer Kurve $\varphi \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ definiert als das Integral ihrer Krümmung $\kappa$, also als

$\int _{a}^{b}\kappa (s)ds$.

Kurven in der Ebene

Die Totalkrümmung einer geschlossenen Kurve in der Ebene ist stets ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$. Der ganzzahlige Faktor ist die Tangentenumlaufzahl der Kurve.

Aus dem Satz von Whitney-Graustein folgt, dass sich die Totalkrümmung einer geschlossenen regulären Kurve unter regulären Homotopien nicht ändert.

Raumkurven

Aus der Fary-Milnor-Ungleichung folgt, dass die Totalkrümmung einer verknoteten Raumkurve stets größer als $4\pi$ ist.

Höherdimensionale Verallgemeinerung

Für höherdimensionale riemannsche Mannigfaltigkeiten $(M,g)$ bezeichnet man als Totale Skalarkrümmung (oder im Fall von Flächen ebenfalls als Totalkrümmung) das Integral

$\int _{M}scal\ dvol_{g}$

der Skalarkrümmung bezüglich der Volumenform der riemannschen Metrik $g$.

Für Flächen folgt aus dem Satz von Gauß-Bonnet, dass ihre Totalkrümmung $2\pi \chi (M)$ nur von der Euler-Charakteristik der Fläche und nicht von der riemannschen Metrik abhängt.

Literatur

• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie: Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten, Springer Spektrum 2013, ISBN 978-3-658-00615-0