Sektorformel von Leibniz

Die Sektorformel von Leibniz, benannt nach Gottfried Wilhelm Leibniz, berechnet den orientierten Flächeninhalt, den ein Fahrstrahl eines Kurvenabschnitts überstreicht, insbesondere kann man mit ihr Flächeninhalte von Gebieten, die durch eine geschlossene Kurve beschrieben werden, berechnen.

Kurve mit Fahrstrahl
geschlossene Kurve mit Fahrstrahl

FormelBearbeiten

Sei   mit   eine glatte Kurve, dann überstreicht ihr mit dem Ursprung gebildeter Fahrstrahl den orientierten Flächeninhalt   der folgenden Größe:

 

Stückweise glatte KurvenBearbeiten

Ist   eine stückweise glatte Kurve auf   und   eine Partition von  , so dass   auf den Teilintervallen   für   glatt ist, so gilt:

 

Hierbei bezeichnet   die auf das Intervall   beschränkte Kurve.

Zusammenhang mit DreieckenBearbeiten

Man kann die Sektorformel als eine Verallgemeinerung der Determinantenformel zur Berechnung des Flächeninhaltes von Dreiecken auffassen. Sind  ,  ,   die Eckpunkte eines beliebigen Dreiecks, dann wird dieses durch die folgende stückweise glatte Kurve   beschrieben:

 

Dann gilt nun für die Flächenberechnung des Dreiecks:

 

Zusammenhang mit den IntegralsätzenBearbeiten

Für den Fall einer geschlossenen Kurve ergibt sich die Sektorformel von Leibniz auch als Spezialfall des Integralsatzes von Green. Der Integralsatz liefert für die von einer Kurve   mit   eingeschlossene Fläche   und zwei differenzierbare Funktionen   die folgende Gleichung:

 

Wählt man für die dortigen Funktionen   und  , so gilt   und   und man erhält:

 

Da die Integration über eine Fläche mit 1 den Flächeninhalt selbst liefert, gilt:

 .

Alternative FormelBearbeiten

 
Alternative Formel

In der Literatur wird gelegentlich auch eine weitere Formel als Sektorformel von Leibniz bezeichnet. Diese ist wesentlich spezieller und verwendet statt Koordinatenfunktionen   und   der Parameterkurve   eine Funktion  , die den Abstand eines Kurvenpunktes vom Zentrum einer sternförmigen Menge   beschreibt. Mit dieser gilt dann:

 

Da diese Formel im Gegensatz zur vorherigen keinen orientierten Flächeninhalt verwendet, ist sie nur für sternförmige Mengen gültig. Ist   ein Zentrum der sternförmigen Menge, so lässt sich r(t) mittels der Beziehung   aus den Koordinatenfunktionen der Parameterkurve berechnen.

BeispielBearbeiten

Eine Herzkurve   besitzt die folgende Parameterdarstellung:

 

Mit der Sektorformel ergibt sich dann der folgende Flächeninhalt:

 

 
Herzkurve

Bei der Verwendung der alternativen Formel kann man   als Zentrum wählen und erhält dann:

 

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten