Trapezregel

Näherungsverfahren um Integrale zu berechnen
(Weitergeleitet von Sehnentrapezformel)

Die Trapezregel beschreibt ein mathematisches Verfahren zur numerischen Annäherung des Integrals einer Funktion im Intervall (Numerische Integration).

Dazu ersetzt man die Fläche unter der Kurve im gegebenen Intervall durch ein Trapez oder mehrere gleich breite Trapeze.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung dieser Trapeze: Man kann die Kurve zum Beispiel näherungsweise durch eine Sehne zwischen den Funktionswerten an den Stellen und ersetzen. Dies führt zur Sehnentrapezformel. Man kann aber auch in der Mitte des Intervalls die Tangente an die Funktion legen und erhält dann die Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel.

Beispiel

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Mit Hilfe der im Folgenden erklärten Trapezformeln soll dieses bestimmte Integral näherungsweise berechnet werden.

Sehnentrapezformel

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Sehnentrapez
 

Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie   (dem Intervall auf der  -Achse), den senkrechten Geraden   und   sowie der Sehne als Verbindungsgerade zwischen   und  . Diese Sehne ersetzt die Kurve  .

Die Sehnentrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:

 

Diese Formel – und auch die folgenden – kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“.

Ist   zweimal stetig differenzierbar in  , dann gilt für das Restglied   folgende Abschätzung:

 

Ist   zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle  

 

Das Vorzeichen in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel machen: Falls die Funktion  , wie in der obigen Abbildung des Sehnentrapezes, streng konkav ist, gilt   für alle   und daher auch für die Zwischenstelle  . Somit folgt, dass  , d. h. die gesuchte Fläche   ist größer als die Trapezfläche  , wie auch die Abbildung zeigt.

Die Abhängigkeit des Fehlers von der 2. Ableitung von   bedeutet, dass die Formel für Geraden exakt ist, was auch anschaulich klar ist. Der Genauigkeitsgrad ist somit 1.

Angewandt auf obiges Beispiel:

 

Wegen   folgt aus obiger Formel, dass die gesuchte Fläche   kleiner ist als die Trapezfläche  , in Übereinstimmung mit den errechneten Zahlen.

Zusammengesetzte Sehnentrapezformel

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Veranschaulichung der summierten Sehnentrapezformel; es werden die Flächen von   Rechtecken summiert und dann die Flächen der gelben Dreiecke addiert, deren einzelne Höhen sich zu   addieren:  [1][2]
 

Um das Integral noch besser annähern zu können, unterteilt man das Intervall   in   nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge  . In jedem Teilintervall wendet man die Sehnentrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte (bzw. zusammengesetzte) Sehnentrapezformel:

 

mit

 

Dabei werden die Funktionswerte an den   Stützstellen   mit der vollen Breite   der Teilintervalle und an den Intervallrändern mit der halben Breite   multipliert.

Angewandt auf obiges Beispiel:

Sei die Schrittweite   und damit  . Dann ist

 

Sei die Schrittweite   und damit  . Dann ist

 

Man sieht hier den Vorteil der Sehnentrapezregel: Verdoppelt man die Anzahl der Intervalle, so kann auf die vorangegangene Rechnung zurückgegriffen werden. Das ist bei der Tangententrapezregel (s. u.) nicht der Fall. Das ist einer der Gründe, warum die Romberg-Integration auf der Sehnentrapezregel als Basis aufbaut.

Die allgemeine Formel lautet:

 

Fehlerabschätzung

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Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet

 

bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle   aus dem Intervall  

 

Der Faktor   in obiger Formel bedeutet, dass bei einer Halbierung der Schrittweite (Verdoppelung der Intervalle), wie es beim Romberg-Verfahren mit der Romberg-Folge der Fall ist, der Fehler in etwa um den Faktor 4 kleiner wird, wie auch nachfolgendes Beispiel zeigt:

Angewandt auf obiges Beispiel:

Mit   folgt

 

und somit die Fehlerabschätzung

 ,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

 

Analog erhält man die Fehlerabschätzung

 ,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

 

Es gilt

 

Fehlerschätzung

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Rechnet man die Sehnentrapezformel zweimal mit 2 verschiedenen Anzahlen von Intervallen  , so erhält man folgende Fehlerschätzung:

 

Speziell bei der Verdoppelung der Intervalle   (Halbierung der Schrittweite) erhält man die Fehlerschätzung:

 

Angewandt auf das obige Beispiel erhält man

 

Asymptotische Fehlerentwicklung

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Wir bestimmen im Folgenden die Art des Fehlers der Trapezsumme   und im Speziellen ihre Abhängigkeit von der Schrittweite  , wobei das Integral   bestimmt werden soll.

Seien dazu

  • die Schrittweite:   mit  
  • Trapezsumme ist  -abhängig:  
  • der Integrand ist stetig-differenzierbar:   mit  .

Dann gilt das folgende Fehlerverhalten für die Trapezsumme[3]

 

wobei die folgenden Definitionen gelten

 

Weiterhin sind die   durch die Bernoulli-Zahlen gegeben und der Koeffizient des Resttermes   kann gleichmäßig in   abgeschätzt werden kann. Es gilt also

 

Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel

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Tangententrapez
 
Mittelpunktsregel
 

Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie   (dem Intervall auf der  -Achse), den senkrechten Geraden   und   sowie der Tangente an   in der Mitte des Intervalls  . Diese Tangente ersetzt die Kurve  .

Die Tangententrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:

 

Diese Formel – und auch die folgenden – kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“.

Ist   zweimal stetig differenzierbar in  , dann gilt für das Restglied   folgende Abschätzung:

 

Ist   zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle  :

 

Das Vorzeichen in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel machen: Falls die Funktion  , wie in der obigen Abbildung des Tangententrapezes, streng konkav ist, gilt   für alle   und daher auch für die Zwischenstelle  . Somit folgt, dass  , d. h. die gesuchte Fläche   ist kleiner als die Trapezfläche  , wie auch die Abbildung zeigt.

Die Abhängigkeit des Fehlers von der 2. Ableitung von   bedeutet, dass die Formel für Geraden exakt ist, was auch anschaulich klar ist. Der Genauigkeitsgrad ist somit 1.

Dreht man im obenstehenden Bild der Tangententrapezregel die Tangente im Punkt   im Uhrzeigersinn bis man eine horizontale Gerade erhält, so entsteht ein Rechteck mit der gleichen Fläche. Die so erhaltene Regel (Mittelpunktsregel) ist somit eine andere geometrische Deutung der gleichen Quadraturformel.

Angewandt auf obiges Beispiel:

 

Wegen   folgt aus obiger Formel, dass die gesuchte Fläche   größer ist als die Trapezfläche  , in Übereinstimmung mit den errechneten Zahlen.

Zusammengesetzte Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel

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Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall   in   nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge  . In jedem Teilintervall wendet man die Tangententrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte (bzw. zusammengesetzte) Tangententrapezformel:

 

mit

 

Angewandt auf obiges Beispiel:

Sei die Schrittweite     und damit  

 

Sei die Schrittweite   und damit  . Dann ist

 

Im Gegensatz zur Sehnentrapezregel kann bei der Tangententrapezregel bei Verdoppelung der Anzahl der Intervalle auf die vorangegangene Rechnung nicht zurückgegriffen werden.

Fehlerabschätzung

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Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:

 

bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle  :

 

Der Faktor   in obiger Formel bedeutet, dass bei einer Halbierung der Schrittweite (Verdoppelung der Intervalle), der Fehler in etwa um den Faktor 4 kleiner wird, wie auch nachfolgendes Beispiel zeigt:

Angewandt auf obiges Beispiel:

Mit   folgt

 

und somit die Fehlerabschätzung

 ,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

 

Analog erhält man als Fehlerabschätzung

 ,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

 

Es gilt

 

Fehlerschätzung

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Rechnet man die Tangententrapezformel zweimal mit zwei verschiedenen Anzahlen von Intervallen  , so erhält man wie bei der Sehnentrapezregel folgende Fehlerschätzung:

 .

Speziell bei der Verdoppelung der Intervalle   (Halbierung der Schrittweite) erhält man die Fehlerschätzung:

 .

Angewandt auf das obige Beispiel erhält man

 .

Vergleich von Sehnentrapezformel und Tangententrapezformel hinsichtlich der Güte der Näherung

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Für konkave Funktionen liefert die Tangententrapezformel eine bessere Näherung als die Sehnentrapezformel.

Grafisch veranschaulicht bedeutet dies, dass die nicht ausgeschöpfte gelbe Fläche oberhalb des Funktionsgraphen bei der Tangententrapezformel kleiner ist als die nicht ausgeschöpfte gelbe Fläche unterhalb des Funktionsgraphen bei der Sehnentrapezformel.[4]

 

Zusammenhang mit anderen Formeln

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Wie man an obigen Beispielen sieht, gilt

 

Die allgemeine Formel lautet:

 

Für die Fehlerschätzung der Sehnentrapezregel erhält man somit

 

Addiert man zum Näherungswert   die Fehlerschätzung für  , so erhält man die beiden besseren äquivalenten Formeln:

  1.  
    Das ist die Formel von   der Simpsonregel. Somit erhält man eine Formel vom Genauigkeitsgrad 3, die Polynome bis zum Grad 3 exakt integriert. Diese liefert i. A. bessere Resultate als   oder  .
  2.  
    Das ist die Formel für die 2. Spalte des Rechenschemas der Romberg-Integration bei Verwendung der Romberg-Folge. Somit ist die 2. Spalte des Rombergschemas die Simpsonregel mit dem Genauigkeitsgrad 3.

Angewandt auf obiges Beispiel erhält man mit

 

eine bessere Näherung für das exakte Integral  

als mit  , oder  

bei gleicher Anzahl auszuwertender Funktionswerte wie  , nämlich 13 Stück.

Siehe auch

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Literatur

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  • Josef Stoer: Numerische Mathematik, Springer-Verlag, Berlin, 2005, ISBN 3-540-21395-3
  • Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Teubner-Verlag, Stuttgart, 2002, ISBN 3-519-00356-2, S. 317 ff

Einzelnachweise

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  1. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 169
  2. Mathematics Magazine, vol. 68, no. 3 (June 1995), S. 192
  3. Peter Deuflhard; Folkmar Bornemann: Numerische Mathematik / 1. Eine algorithmisch orientierte Einführung. 4., überarb. und erw. Auflage. Band 1. de Gruyter, Berlin, ISBN 3-11-020354-5, S. 313.
  4. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 170