Schwache Markoweigenschaft

Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie

Die schwache Markoweigenschaft ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Eigenschaft eines stochastischen Prozesses. Sie wird genutzt, um allgemeine Markowprozesse zu definieren, und ist eine Verschärfung der elementaren Markoweigenschaft, da sie im Gegensatz zu dieser noch fordert, dass die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen unabhängig vom Zeitpunkt des Übergangs sind. Meist wird die schwache Markoweigenschaft als "die Markoweigenschaft" bezeichnet und auf den Zusatz "schwach" verzichtet.

Definition

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Gegeben sei ein stochastischer Prozess   mit Werten in   und Zeitmenge  , die außerdem abgeschlossen bezüglich Addition sei und die 0 enthält. Sei   die erzeugte Filtrierung des Prozesses.

Man definiert den Markowkern der Übergangswahrscheinlichkeiten zur Zeitdifferenz   als Kern von   nach   durch

 

für  . Dabei ist   die Wahrscheinlichkeit, zum Zeitpunkt   in   zu sein, wenn man in   gestartet ist.

Der Prozess hat dann die schwache Markoweigenschaft, wenn für beliebiges   und alle   und alle   gilt, dass

 

ist ( -fast sicher).

Interpretation

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Die σ-Algebra   enthält die Informationen über den Verlauf des Prozesses vom Start bis zum Zeitpunkt  , demnach ist entsprechend dem bedingten Erwartungswert die bedingte Wahrscheinlichkeit   die Wahrscheinlichkeit, zum späteren Zeitpunkt   in   zu sein, wenn das Vorwissen   über den Prozess bekannt ist.

Entsprechend der obigen Ausführung ist dann   die Wahrscheinlichkeit, bei Start in   nach   Zeiteinheiten in   zu sein. Die bedeutet Folgendes: Fixiert man zu einem beliebigen Zeitpunkt   einen Zustand   und geht dann von diesem Zustand mit dem Wissen über die gesamte Vergangenheit des Prozesses nochmals   Zeitschritte nach vorn, so ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses   dieselbe, wie wenn man direkt im fixierten Zustand   gestartet hätte und um   nach vorn gegangen wäre. Die Vergangenheit des Prozesses hat also keinen Einfluss auf die Übergangswahrscheinlichkeiten. So gesehen hat der Prozess ein „kurzes Gedächtnis“. Außerdem hat auch der Zeitpunkt   keinen Einfluss auf die Übergangswahrscheinlichkeiten, der Prozess ist also homogen.

Verallgemeinerungen

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Eine Verallgemeinerung der schwachen Markoweigenschaft ist die starke Markoweigenschaft. Sie fordert bei einem Markowprozess, dass die schwache Markoweigenschaft nicht nur für deterministische Zeitpunkte gilt, sondern dass sie auch für (zufällige) Stoppzeiten gilt.

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Literatur

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