Das sapogowsche Kriterium ist eines der Konvergenzkriterien für unendliche Reihen und gehört als solches in das mathematische Teilgebiet der Analysis. Es geht, wie G. M. Fichtenholz in Band II seiner dreibändigen Differential- und Integralrechnung ausweist, auf den sowjetischen Mathematiker Nikolai Alexandrowitsch Sapogow (1915–1983) zurück.[1][2]

Formulierung

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Fichtenholz folgend kann man das Kriterium folgendermaßen formulieren:[3]

Gegeben sei eine monoton wachsende Folge   von positiven reellen Zahlen.
Dazu sei die Reihe
 
gebildet. Dann gilt:
(I)   ist eine konvergente Reihe, wenn   eine beschränkte Folge ist. In diesem Falle ist auch die verwandte Reihe   konvergent.
(II) Ist   jedoch unbeschränkt, so ist   divergent.

Verwandte Kriterien

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Mit dem sapogowschen Kriterium verknüpft ist ein weiteres, welches auf Niels Henrik Abel und Ulisse Dini zurückgeht und mit dessen Hilfe Fichtenholz den Beweis des sapogowschen Kriterium führt.[4] Dieses Kriterium tritt ebenfalls in Konrad Knopps Monographie Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen auf und wird dort als Satz von Abel und Dini bezeichnet. Der Darstellung von Knopp folgend lässt es sich folgendermaßen angeben:[5]

Gegeben seien eine Folge   positiver reeller Zahlen sowie eine beliebige reelle Zahl  . Die der Folge zugehörige Reihe   sei divergent.
Dann gilt hinsichtlich der Partialsummenfolge  :
(a) Für   ist die dazu neu gebildete Reihe   ebenfalls divergent.
(b) Für   jedoch ist   konvergent.

Den Satz von Abel und Dini führt Knopp wiederum auf ein Resultat zurück, welches von Alfred Pringsheim stammt und bei Knopp als Satz von Pringsheim bezeichnet wird:[6]

Ist   eine Folge positiver reeller Zahlen mit Partialsummenfolge   und ist die der Folge zugehörige Reihe   divergent, so ist für eine beliebige reelle Zahl   die verwandte Reihe
 
stets konvergent.

Literatur

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  • N.H. Abel: Note sur le mémoire de Mr. L. Olivier No. 4 du second tome de ce journal, ayant pour titre „remarques sur les séries infinies et leur convergence“. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 3, 1828, S. 79–82 (MR1577677).
  • U. Dini: Sulle serie a termini positivi. In: Annali delle Università Toscane. Band 9, 1867, S. 41–76 (italienisch, Wikisource [abgerufen am 16. September 2021]).
  • G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974.
  • Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997).
  • Alfred Pringsheim: Allgemeine Theorie der Divergenz und Convergenz von Reihen mit positiven Gliedern. In: Mathematische Annalen. Band 35, 1890, S. 297–394.

Einzelnachweise

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  1. G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. 1974, S. 304, S. 834
  2. Obwohl im Geburtsjahr Sapogows die Sowjetunion noch nicht bestand, wird bei Fichtenholz Sapogow dennoch als „sowjetischer Mathematiker“ bezeichnet.
  3. Fichtenholz, op. cit., S. 304
  4. Fichtenholz, op. cit., S. 303–304
  5. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 1964, S. 299
  6. Knopp, op. cit., S. 300