Satz von Poincaré (Geometrie)

mathematischer Satz

In der Mathematik gibt der Satz von Poincaré eine hinreichende Bedingung dafür, dass ein hyperbolisches Polygon (Vieleck) der Fundamentalbereich einer diskreten Gruppe von Isometrien ist. Er wurde 1882 von Henri Poincaré bewiesen[1] und war grundlegend für seine Arbeiten über Uniformisierung Riemannscher Flächen.

Definitionen

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Sei   ein Polygon in der hyperbolischen Ebene. Alle Kanten von   seien mit einer Orientierung versehen. Weiter sei   eine Gruppe von Isometrien der hyperbolischen Ebene. Wir sagen, dass zwei (orientierte) Kanten   und   miteinander gepaart werden, wenn es ein   mit   gibt. (Die Möglichkeit   ist zugelassen.) Eine Kantenpaarung des Polygons   besteht aus einer Menge von Paarungen, bei denen jede Kante genau einmal als Ausgangskante und genau einmal als Zielkante vorkommt. Zu jedem Paar einer Kantenpaarung hat man also eine Isometrie  . Weiter wird gefordert, dass die dem Paar   zugeordnete Isometrie   das Inverse der dem Paar   zugeordneten Isometrie   ist, und dass   für alle Kanten   gilt.

Für eine Ecke   von   gibt es eine eindeutige orientierte Kante  , deren Ausgangspunkt   ist. Sei  . Sei   die eindeutige orientierte Kante mit Ausgangspunkt  , und sei  . Die Iteration dieses Verfahrens muss nach endlich vielen Schritten wieder zur Ausgangsecke   führen. Der so konstruierte Zykel   heißt elliptischer Zykel.

Satz von Poincaré

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Sei   ein konvexes hyperbolisches Polygon mit endlich vielen Kanten. Man habe eine Kantenpaarung, bei der keine Kante mit sich selbst gepaart wird, und bei der für jeden elliptischen Zykel die Summe der Innenwinkel der vorkommenden Ecken von der Form   für eine natürliche Zahl   ist.

Dann erzeugen die Kantenpaarungen eine diskrete Gruppe   mit Fundamentalbereich  .

Verallgemeinerungen

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Die dreidimensionale Version des Satzes von Poincaré wird als Poincaréscher Polyedersatz bezeichnet. Die diskontinuierlichen Gruppen sind hier Kleinsche statt Fuchssche Gruppen. Er veröffentlichte ihn 1883.[2]

Literatur

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  • B. Maskit: On Poincaré's theorem for fundamental polygons, Adv. Math. 7, 219–230 (1971) online

Einzelnachweise

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  1. Poincaré, Théorie des groupes fuchsiens, Acta Mathematica, Band 1, 1882, S. 1–62
  2. Poincaré, Mémoire sur les groupes Kleinéens, Acta Mathematica, Band 3, 1883, S. 49–92