Satz von Komlós

Theorem aus der Stochastik über die Cesàro-Konvergenz einer Teilfolge von Zufallsvariablen sowie ihrer Teilfolgen zu einer integrierbaren Zufallsvariable

Der Satz von Komlós ist ein Theorem aus der Stochastik und der Analysis über die Cesàro-Konvergenz einer Teilfolge von Zufallsvariablen (resp. Funktionen) sowie ihrer Teilfolgen zu einer integrierbaren Zufallsvariable (resp. Funktion).

Der Satz wurde 1967 von dem ungarisch-amerikanischen Mathematiker János Komlós bewiesen.[1] 1970 bewies Srishti D. Chatterji eine Verallgemeinerung für allgemeine Maßräume.[2]

Satz von Komlós

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Probabilistische Variante

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Sei   ein Wahrscheinlichkeitsraum und   eine darauf existierende Folge von reellwertigen Zufallsvariablen mit  

Dann existierten eine Zufallsvariable   und eine Teilfolge  , so dass für jede beliebige Teilfolge   gilt, wenn  , dann

 

 -fast sicher.

Analytische Variante

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Sei   ein endlicher Maßraum und   eine reelle Folge in   mit  . Dann existierten eine Funktion   und eine Teilfolge  , so dass für jede beliebige Teilfolge   gilt, wenn  , dann

 

 -fast überall.

Erläuterungen

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Das Theorem sagt, dass sowohl die Folge   als auch ihre Teilfolgen im Cesàro-Mittel fast sicher gegen   konvergieren.

Verallgemeinerungen

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Von Srishti D. Chatterji stammt folgende Verallgemeinerung für allgemeine Maßräume:

Sei   ein Maßraum und   eine Folge, so dass für alle   mit   und

 

Dann existieren eine Teilfolge   und eine Funktion  , so dass für jede beliebige Teilfolge   gilt, wenn  , dann

 

fast überall.

Weiter gilt falls  , dann ist   immer eine mögliche Wahl.

Im Allgemeinen kann die Teilfolge   nicht so gewählt werden, dass  -Konvergenz gilt. Diese gilt aber, wenn eine Teilfolge   existiert, so dass   schwach folgenkompakt ist. Letzteres bedeutet im Falle wenn   endlich ist, dass   eine gleichmäßig integrierbare Familie ist, d. h.

 

gleichmäßig für  .[3]

Einzelnachweise

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  1. János Komlós: A Generalisation of a Problem of Steinhaus. In: Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. Band 18, Nr. 1, 1967, doi:10.1007/BF02020976.
  2. S. D. Chatterji: A general strong law. In: Inventiones Mathematicae. Band 9, 1970, S. 235–245, doi:10.1007/BF01404326.
  3. S. D. Chatterji: A general strong law. In: Inventiones Mathematicae. Band 9, 1970, S. 235, doi:10.1007/BF01404326.