Satz von Hopf-Whitney

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie ist der Satz von Hopf-Whitney ein Klassifikationssatz für Abbildungen eines $n$-dimensionalen Simplizialkomplexes in die $n$-dimensionale Sphäre.

Satz: Sei $X$ ein $n$-dimensionaler Simplizialkomplex. Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen $f\colon X\to S^{n}$ und der $n$-ten Kohomologie von $X$:

$\left[X,S^{n}\right]\cong H^{n}(X;\mathbb {Z} )$.

Die Bijektion wird vermittelt, indem man einer Abbildung $f\colon X\to S^{n}$ das Zurückgezogene $f^{*}\left[S^{n}\right]\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )$ der Fundamentalklasse $\left[S^{n}\right]\in H^{n}(S^{n};\mathbb {Z} )$ zuordnet.

Falls $X=M^{n}$ eine orientierbare, geschlossene Mannigfaltigkeit ist, ist $H^{n}(M^{n};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ und man bekommt die durch den Abbildungsgrad gegebene Bijektion $\left[M^{n},S^{n}\right]\cong \mathbb {Z}$.

Der Satz von Hopf-Whitney gilt allgemeiner auch für Abbildungen von CW-Komplexen in $(n-1)$-zusammenhängende Räume. Sei $X$ ein $n$-dimensionaler CW-Komplex und $Y$ ein $(n-1)$-zusammenhängender Raum. Sei $\pi =\pi _{n}Y$. Dann gibt es ein Element $\iota \in H^{n}(Y;\pi )$, welches unter der Korrespondenz $H^{n}(Y;\pi )\cong \left[Y;K(\pi ,n)\right]\cong \mathrm {Hom} (\pi _{n}Y,\pi )$ dem Identitätsmorphisus entspricht, und die Zuordnung $f\to f^{*}\iota$ definiert eine Bijektion

$\left[X,Y\right]\cong H^{n}(X;\pi )$.

Literatur

• H. Hopf: Die Klassen der Abbildungen der n-dimensionalen Polyeder auf die n-dimensionale Sphäre, Comm. Math. Helv. 5, 39–54, 1933
• H. Whitney: The maps of an n-complex into an n-sphere, Duke Math. J. 3, 51–55, 1937