Als s-finite Maße oder s-endliche Maße bezeichnet man eine gewisse Klasse von Maßen in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie lassen sich als abzählbare Summe von endlichen Maßen darstellen und erlauben somit die Verallgemeinerung gewisser Beweise. Die s-finiten Maße sind den σ-endlichen Maßen ähnlich, sollten aber nicht mit ihnen verwechselt werden.

Definition

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Gegeben sei ein Messraum  . Dann heißt ein Maß   auf diesem Messraum ein s-finites Maß, wenn es eine abzählbare Folge   von endlichen Maßen gibt, so dass

 

gilt.[1]

Beispiel

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Das Lebesgue-Maß   ist ein s-finites Maß. Definiere dazu

 

und

 .

Bezeichnet nun   die Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf die Menge  , so sind die Maße

 

alle endlich und summieren sich aufgrund ihrer Konstruktion zu  .

Eigenschaften

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Beziehung zur σ-Endlichkeit

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Jedes σ-endliche Maß ist immer s-finit. Denn ist   σ-endlich und sind   messbare disjunkte Mengen mit   für alle   wie in der Definition der σ-Endlichkeit gefordert, so sind   endliche Maße, die sich wie im obigen Beispiel wieder zu   aufsummieren. Umgekehrt ist nicht jedes s-finite Maß auch σ-endlich. Betrachtet man als Messraum die Menge  , versehen mit der Potenzmenge als σ-Algebra und definiert die Maße   alle als das Zählmaß auf  , so ist

 

per Konstruktion s-finit. Aber   ist nicht σ-endlich, denn es ist

 ,

der Fall für   folgt analog.

Äquivalenz

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Jedes s-finite Maß   ist äquivalent zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß  . Das bedeutet, dass es ein Maß   mit   gibt, so dass  . Hier bedeutet  , dass   und  , sprich es ist   absolut stetig bezüglich   und   absolut stetig bezüglich  . Denn sind   endliche Maße wie in der Definition der s-Finitheit gefordert, so ist ein mögliches   gegeben durch

 .

für alle  .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, S. 21, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.