Pyramidenzahl

In der Mathematik sind Pyramidenzahlen oder Pyramidalzahlen eine Klasse von Polyederzahlen, das heißt dreidimensionale figurierte Zahlen. Von manchen Autoren wird der Begriff Pyramidalzahl für den Spezialfall der quadratischen Pyramidalzahlen verwendet. Sie sind die dreidimensionalen Verallgemeinerungen der ebenen Polygonalzahlen.

BerechnungBearbeiten

Die jeweils  -te  -eckige Pyramidalzahl lässt sich mit der Formel

 

berechnen.[1]

Alternativ lässt sich die  -te  -eckige Pyramidalzahl als Summe der ersten    -eckigen Polygonalzahlen berechnen.

Pyramidenzahlen zu Polygonen mit wenigen EckenBearbeiten

  Bezeichnung Explizite Formel die ersten Werte Erzeugende Funktion
3 Tetraederzahlen   (0,) 1, 4, 10, 20, 35, … (Folge A000292 in OEIS)  
4 Quadratische Pyramidalzahlen   (0,) 1, 5, 14, 30, 55, … (Folge A000330 in OEIS)   [2]
5 Fünfeckige Pyramidalzahlen   (0,) 1, 6, 18, 40, 75, … (Folge A002411 in OEIS)   [3]
6 Sechseckige Pyramidalzahlen   (0,) 1, 7, 22, 50, 95, … (Folge A002412 in OEIS)   [4]
7 Siebeneckige Pyramidalzahlen   (0,) 1, 8, 26, 60, 115, … (Folge A002413 in OEIS)   [5]

Anmerkung: Manche Autoren zählen die Null als nullte oder erste figurierte Zahl jeweils dazu, andere nicht.

Weitere Zusammenhänge mit anderen figurierten ZahlenBearbeiten

Die  -te quadratische Pyramidalzahl lässt sich auch aus der  -ten Dreieckszahl   und der  -ten Tetraederzahl   nach der Formel

 

oder aus den aufeinanderfolgenden   und  -ten Tetraederzahlen durch einfaches Summieren

 

berechnen.

Die Summe der ersten Tetraederzahlen ergibt eine Pentatopzahl, eine vierdimensionale Figurierte Zahl.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Pyramidal Numbers. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric W. Weisstein: Square Pyramidal Numbers. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Pentagonal Pyramidal Numbers. In: MathWorld (englisch).
  4. Eric W. Weisstein: Hexagonal Pyramidal Numbers. In: MathWorld (englisch).
  5. Eric W. Weisstein: Heptagonal Pyramidal Numbers. In: MathWorld (englisch).