Pentatopzahlen (Hypertetraederzahlen) stellen eine 4-dimensionale Verallgemeinerung der 2-dimensionalen Dreieckszahlen dar; analog den 3-dimensionalen Tetraederzahlen. Aufgrund ihrer Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Pentatopzahlen zu den figurierten Zahlen.

Die Pentatopzahl berechnet sich zu:

Die ersten Pentatopzahlen sind: (0), 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, … (Folge A000332 in OEIS)

BezeichnungBearbeiten

Der Name Pentatopzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Pentatops ab. Dabei handelt es sich um einen vierdimensionalen Körper der aus einem dreidimensionalen Tetraeder hervorgeht. Könnte man ein Pentatop der Seitenlänge   gleichmäßig aus (Hyper)Kugeln zusammensetzen, so wäre deren Anzahl mit einer Pentatopzahl identisch.

Reguläre figurierte ZahlenBearbeiten

Zu den regulären figurierten Zahlen gehören:

Die  -te Dreieckszahl   ist die Summe der ersten   natürlichen Zahlen:

 

Die  -te Tetraederzahl   ist die Summe der ersten   Dreieckszahlen:

 
  • Vierdimensional: Pentatopzahlen

Die nächsten regulären figurierten Zahlen sind die Pentatopzahlen, sie entstehen durch Summation der ersten   Tetraederzahlen:

 

EigenschaftenBearbeiten

  • In der Folge der Pentatopzahlen sind abwechselnd vier Zahlen ungerade und gerade.
  • Alle regulären figurierten Zahlen stehen im Pascalschen Dreieck, die Pentatopzahlen finden sich in der fünften Diagonalen. Insbesondere gilt für die  -te Pentatopzahl:
 
 
 

WeblinksBearbeiten