Preisfunktional

Begriff aus der Finanzmathematik

Das Preisfunktional (englisch price functional) ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Das Preisfunktional weist einem erreichbaren Konsumprozess (englisch attainable consumption process) seine Initialkosten zu.

Definition

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Wir betrachten einen (arbitrage-freien) multiperiodischen Finanzmarkt in stetiger Zeit   mit   endogenen Wertpapieren, wobei das Wertpapier   eine lokal-risikolose Anleihe (Numéraire) ist. Wir verzichten auf eine detaillierte Beschreibung des Finanzmarktes und erwähnen nur die wichtigsten Elemente, die für das Verständnis der Definition relevant sind.

Wie üblich haben wir einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum   mit den üblichen Bedingungen.

Annahmen

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Sei   ein Preissystem und die Preisprozesses   seien Semimartingale. Mit   bezeichnen wir die Auszahlungen (englisch payoffs), so dass diese messbar bezüglich der terminalen σ-Algebra   sind und   für  .

  sei ein Equilibriums-Preis-Maß auf  , das heißt   ist äquivalent zu   und der diskontierte Preisprozess   für   ist ein  -gleichgradig-integrierbares Martingal.

Mit   bezeichnen wir die Menge der Handelsstrategien. Die Elemente in   sind so definiert, dass der diskontierte Wertprozess   ein  -gleichgradig-integrierbares Martingal ist, das impliziert, dass keine Arbitrage-Strategie existiert.

  ist die Menge der erreichbaren Konsumprozessen zu den Preisen  .

Preisfunktional

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Das Preisfunktional   ist für jeden erreichbaren Konsumprozess   durch

 

für alle Handelsstrategien   mit

 

definiert.[1]

Existenz

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Die Existenz des Preisfunktionals ist eine Folge davon, dass keine Arbitrage-Strategien in   existieren.

Einzelnachweise

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  1. Michael U. Dothan: Prices in Financial Markets. Hrsg.: Oxford University Press. Oxford 1990, S. 304.