Picard-Iteration

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Als Picard-Iteration bezeichnet man in der Mathematik die von Charles Émile Picard entdeckte Fixpunktiteration zur approximativen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, die auch in dem Beweis der lokalen Version des Satzes von Picard-Lindelöf verwendet wird.

DefinitionBearbeiten

Betrachte das durch

 

gegebene Anfangswertproblem, wobei   eine stetige und im zweiten Argument lipschitzstetige Abbildung und   aus einem reellen Zeitintervall ist.

Die Picard-Iteration ist dann gegeben durch

 
 

Die dadurch erzeugte Funktionenfolge konvergiert für hinreichend kleine   gleichmäßig gegen die Lösung  .

BeispielBearbeiten

 
Animation zur Entwicklung der durch Picard-Iteration erzeugten Funktionenfolge.

Eine gewöhnliche Differentialgleichung sei gegeben durch

 

mit dem Startwert:

 

Zwei Schritte der Picard-Iteration lauten:

 
 
 

WeblinksBearbeiten

Wikibooks: Beweisarchiv - Beweis der Behauptung – Lern- und Lehrmaterialien