Eine perfekte Kachelung ist die Parkettierung einer Teilfläche der (euklidischen) Ebene, in der alle Kacheln sowohl untereinander als auch zur gesamten Teilfläche ähnlich sind, jedoch keine Kachel deckungsgleich mit einer anderen ist.

Abbildung 1
Abbildung 2
Abbildung 3

Dreieckskachelungen

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Jedes rechtwinklige, aber nicht gleichschenklige Dreieck kann mit zwei Kacheln perfekt gekachelt werden (Abbildung 1). Auch andere Dreiecke lassen sich perfekt kacheln. Ein Beispiel mit sechs Kacheln zeigt Abbildung 2.

Sechseckskachelungen und Goldener Schnitt

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Es gibt nur wenige Arten von Vielecken mit höchstens sechs Seiten, die perfekte Kachelungen erlauben. Die einzigen bis heute bekannten Vielecke dieser Art sind neben den bereits genannten rechtwinkligen nicht gleichschenkligen Dreiecken besondere in je zwei Kacheln unterteilte konkave Sechsecke, in denen mit  , also  , die Seitenverhältnisse

 ,  ,  ,  ,   und  

den Goldenen Schnitt   bilden (Abbildung 3).

Aus diesem Grunde und wegen ihrer besonderen Form werden diese Sechsecke auch als Goldenes „b“ bezeichnet.[1][2]

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Einzelnachweise

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  1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 54
  2. Shigeki Akiyama, Jun Luo, Ryotaro Okazaki, Wolfgang Steiner, Jörg Thuswaldner: Similar dissection of sets. Geometriae Dedicata, Springer Verlag, 2011, 150 (1), pp. 233-247