Peanosche Fläche

Graph der Funktion

In der Mathematik ist die peanosche Fläche der Graph der Funktion

Modell der peanoschen Fläche in der Dresdener Modellsammlung[1]

Sie wurde 1899 von Giuseppe Peano als Gegenbeispiel zu einer Vermutung für die Existenz eines lokalen Maximums/Minimums einer Funktion von zwei Variablen angegeben.[2][3][4]

Diese Fläche wurde 1920 von Georg Scheffers in seinem Lehrbuch der darstellenden Geometrie[5] als Fläche von Peano bezeichnet. Sie wird auch Peano-Sattel genannt.[6][7]

Die zu widerlegende VermutungBearbeiten

Vermutung: Haben die Schnitte des Graphen einer Funktion   mit Ebenen durch die  -Achse an der Stelle   alle ein lokales Maximum, so hat auch die Funktion   an der Stelle   ein lokales Maximum.

Die Fläche von Peano zeigt: Diese Vermutung ist falsch. Dafür genügt es zu zeigen, dass für die Funktion   gilt:

  1. Jede Schnittkurve der Fläche mit einer Ebene durch die  -Achse besitzt im Punkt   ein lokales Maximum.
  2. In jeder Umgebung von   besitzt   sowohl positive als auch negative Werte.
 
Peano-Fläche

Eigenschaften der Funktion fBearbeiten

Die Funktion   besitzt folgende Eigenschaften:

  1.   auf den Parabeln   und  .
  2.   zwischen diesen Parabeln, also für   (im Bild rosa) und
  3.   sonst (im Bild hellblau).
  4. Schränkt man   durch   mit   ein, so prüft man leicht nach, dass jede solche Einschränkung von   im Nullpunkt   ein lokales Maximum besitzt.
  5. Die Funktionswerte entlang der Parabel   (im Bild rot) sind außerhalb des Nullpunktes positiv (!).   hat also im Nullpunkt einen Sattelpunkt. (Für diese Überlegung kann man eine beliebige zwischen den Parabeln verlaufende Kurve verwenden.)

Der übliche Sattelpunkt-Test mit der Determinante der Hessematrix liefert kein Ergebnis, da die Determinante 0 ist.[8]

Weblinks: weitere Modelle der peanoschen FlächeBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  1. Peanosche Fläche. In: math.tu-dresden.de. Abgerufen am 2. August 2020.
  2. Arnold Emch: A model for the Peano Surface. In: American Mathematical Monthly. 29, Nr. 10, 1922, S. 388–391.
  3. Angelo Genocchi, Giuseppe Peano (Hrsg.): Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung. B.G. Teubner, 1899, S. 332.
  4. Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven, Springer-Verlag, 2013, S. 197.
  5. Georg Scheffers: Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Band II, 1920, S. 261–263.
  6. S. N. Krivoshapko, V. N. Ivanov: Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer, 2015. Siehe insbesondere den Abschnitt Peano Saddle, S. 562–563.
  7. George K. Francis: A Topological Picturebook. Springer-Verlag, New York 1987, ISBN 0-387-96426-6, S. 88.
  8. Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 403.