Trinomial Triangle

Abwandlung des Pascalschen Dreiecks in der Diskreten Mathematik

Das Trinomial Triangle (englisch, etwa Trinomiales Dreieck) ist eine Abwandlung zum Pascalschen Dreieck. Der Unterschied besteht darin, dass ein Eintrag die Summe der drei (statt wie im originalen Pascalschen Dreieck der zwei) darüberstehenden Einträge ist. Bisher hat sich wegen der geringen mathematischen Relevanz kein allgemein anerkannter deutscher Begriff durchsetzen können; ein Beispiel für einen praktisch verwendeten Begriff ist „Pascalsches 3-arithmetisches Dreieck“.[1]

Für den -ten Eintrag in der -ten Zeile hat sich die Bezeichnung

etabliert. Die Zeilen werden dabei mit beginnend gezählt, die Einträge in der -ten Zeile mit beginnend bis . Der mittlere Eintrag hat also Index , und die Symmetrie wird durch die Formel

ausgedrückt.

Eigenschaften

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Die  -te Zeile entspricht den Koeffizienten der Polynomentwicklung der  -ten Potenz von  , also eines speziellen Trinoms:[2]

 

oder symmetrisch

 .

Daraus ergibt sich auch die Bezeichnung Trinomialkoeffizienten und die Beziehung zu den Multinomialkoeffizienten:

 

Des Weiteren sind interessante Folgen in den Diagonalen enthalten, etwa die Dreieckszahlen.

Die Summe der Elemente der  -ten Zeile ist  .

Die alternierende Summe jeder Zeile ergibt Eins:  .

Formal folgen beide Formeln aus der ersten Formel für x=1 und x=-1.

Rekursionsformel

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Die Trinomialkoeffizienten lassen sich mit folgender Rekursionsformel berechnen:[2]

 ,
  für  ,

wobei   für   und   zu setzen ist.

Die mittleren Einträge

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Die Folge der mittleren Einträge (Folge A002426 in OEIS)

1, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, …

wurde bereits von Euler untersucht: Sie ist explizit gegeben durch

 

Die zugehörige erzeugende Funktion ist

 [3]

Euler bemerkte auch das exemplum memorabile inductionis fallacis (bemerkenswertes Beispiel trügerischer Induktion):

  für  

mit der Fibonacci-Folge  . Für größere   ist die Beziehung jedoch falsch. George Andrews erklärte dies durch die allgemeingültige Identität.[4]

 
 .

Bedeutung in der Kombinatorik

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Kartenspiele

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In der Kombinatorik gibt der Koeffizient von   in der Polynomentwicklung von   an, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, um ungeordnet   Karten aus einem Paket von zwei identischen Kartenspielen je   unterschiedlicher Karten auszuwählen.[5] Hat man beispielsweise zwei Kartenspiele mit den Karten A,B,C, so sieht das folgendermaßen aus:

Anzahl gewählte Karten Anzahl Möglichkeiten Möglichkeiten
0 1
1 3 A, B, C
2 6 AA, AB, AC, BB, BC, CC
3 7 AAB, AAC, ABB, ABC, ACC, BBC, BCC
4 6 AABB, AABC, AACC, ABBC, ABCC, BBCC
5 3 AABBC, AABCC, ABBCC
6 1 AABBCC

Insbesondere ergibt sich daraus  [6] (also gut 287 Millionen) für die Anzahl der unterschiedlichen Hände im Doppelkopf.

Alternativ lässt sich die Zahl dieser Möglichkeit auch berechnen, indem man über die Anzahl   der Pärchen in der Hand aufsummiert; dafür gibt es   Möglichkeiten und für die verbleibenden   Karten gibt es   Möglichkeiten[5], sodass sich daraus folgende Beziehung zu den Binomialkoeffizienten ergibt:

 .

Beispielsweise gilt

6= .

In obigem Beispiel entspricht das dann für die Auswahl von 2 Karten den 3 Möglichkeiten mit 0 Pärchen (AB, AC, BC) sowie den 3 Möglichkeiten mit einem Pärchen (AA, BB, CC).

Schachmathematik

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Anzahl der Möglichkeiten, ein Feld mit der minimalen Zahl von Zügen zu erreichen

  entspricht auch der Zahl der möglichen Pfade eines Schachkönigs, um in minimaler Zahl von Zügen ein Feld des Schachbretts zu erreichen, das von seinem aktuellen Aufenthaltsort   Felder entfernt ist.

Dies gilt nur unter der Bedingung, dass die möglichen Pfade nicht durch den Brettrand eingeschränkt sind.

Literatur

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  • Leonhard Euler, Observationes analyticae. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 11 (1767) 124–143 PDF

Einzelnachweise

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  1. Jewgeni Gik: Schach und Mathematik. Reinhard Becker Verlag, 1986, ISBN 3-930640-37-6, Seite 79
  2. a b Eric W. Weisstein: Trinomial Coefficient. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Central Trinomial Coefficient. In: MathWorld (englisch).
  4. George Andrews, Three Aspects for Partitions. Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B25f (1990) http://www.mat.univie.ac.at/~slc/opapers/s25andrews.html
  5. a b Andreas Stiller: Pärchenmathematik. Trinomiale und Doppelkopf. c’t Heft 10/2005, S. 181ff.
  6. Trinomial Triangle als Programmierbeispiel