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Die Ortsgröße kann durch verschiedene Charakteristika bestimmt werden (Fläche, Anzahl Gebäude etc.). In der Regel jedoch wird nach Einwohnerzahl unterschieden und in Deutschland nach Städten und Gemeinden differenziert.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische ModellierungBearbeiten

Für die mathematische Modellierung der Ortsgröße sei die Einwohnerzahl des k-ten Ortes als   bezeichnet. Der Anteil der Einwohnerzahl des Ortes an der Gesamteinwohnerzahl eines Landes   ist gegeben durch:

 

Die Größe eines Ortes hängt davon ab, wie stark der Anteil   im Laufe der Zeit wächst. Das Wachstum eines Ortes wird im Wesentlichen durch zwei Prozesse bestimmt. Einerseits verändert sich die Ortsgröße durch die Geburt und den Tod von Einwohnern. Andererseits kann sie durch Ereignisse, wie den Zuzug und Wegzug von Einwohnern variieren. Betrachtet man diese Ereignisse als zufällig, so ist die Anzahl von Geburts- oder Todesereignissen pro Zeiteinheit umso höher, je größer ein Ort ist. Gleichfalls gilt, dass in erster Näherung auch die Anzahl von Zu- und die Abwanderungsereignissen eines Ortes proportional zu dessen Größe ist. (Die Entstehung eines neuen Ortes wird als seltenes Ereignis betrachtet und hier nicht explizit berücksichtigt.) Das Wachstum der Einwohnerzahl des k-ten Ortes kann daher als

 

geschrieben werden, wobei   die Wachstumsrate der Einwohnerzahl des k-ten Ortes ist. Die gleichen Prozesse, die zum Wachstum eines Ortes führen, bestimmen auch das Wachstum der Gesamteinwohnerzahl eines Landes. Die Gesamteinwohnerzahl wächst mit

 

wobei   die mittlere Wachstumsrate der Einwohnerzahl eines Landes ist. Sie wird durch die anteilige Summe über alle Orte bestimmt:

 

Berechnet man nun die zeitliche Ableitung des Anteils eines Ortes an der Gesamteinwohnerzahl (erste Gleichung), so ergibt sich:

 

Durch Einsetzen der obigen Gleichungen für   und   erhält man:

 

Dies ist eine sogenannte Replikatorgleichung. Sie bestimmt die zeitliche Entwicklung der Ortsgröße und besagt, dass sich Orte in Konkurrenz um Einwohner befinden. Die Wachstumsrate   (sogenannte Fitness) bestimmt den Wachstumserfolg. Eine hohe Fitness ist generell daran gekoppelt, dass mehr Einwohner geboren werden als sterben und mehr Menschen in einen Ort ziehen als davon weg.

Die Verteilung der OrtsgrößeBearbeiten

Die Wachstumsrate eines Ortes hängt von vielen Faktoren ab, die sich zeitlich ändern können. Um eine hohe Wachstumsrate zu erzielen, kann ein Ort beispielsweise dafür sorgen, dass gute Bedingungen für das Aufziehen von Kindern geschaffen werden. Wesentlich für den Zuzug (Wegzug) von Einwohnern sind wirtschaftliche, kulturelle und soziale Faktoren, dessen zeitliche Veränderungen zu Fluktuationen der Wachstumsrate   führen. Die Replikatorgleichung besagt jedoch, dass Nachteile im Wachstum eines Ortes Vorteile für anderer Orte bedeuten können. Zwar kann die Größe eines Ortes im Laufe der Zeit variieren, die Verteilung der Ortsgröße   bleibt jedoch relativ stabil. Um diese zu ermitteln, sei die Differenz aus den Replikatorgleichungen der Stadt mit der höchsten mittleren Wachstumsrate   und dem Anteil  , und einem beliebigen Ort mit dem Index   gebildet:

 

mit  . Um die zeitlichen Änderungen der Wachstumsraten zu berücksichtigen kann man   als eine fluktuierende Größe der Form

 

schreiben. In dieser Gleichung ist   die mittlere Differenz der Wachstumsraten der Orte in Bezug auf die größte Wachstumsrate über den betrachteten Zeitraum und   eine im Mittel verschwindende fluktuierende Größe, die durch zufällige voneinander unabhängige Ereignisse bestimmt ist. Damit lässt sich die obige Gleichung umformen zu:

 

wobei zur Vereinfachung der Schreibweise der Index weggelassen wird. Es sei berücksichtigt, dass die Differenz   in der Regel sehr klein ist, also   mit  . Das charakteristische Wachstum eines Ortes hängt damit wesentlich von der Größe ab. Für kleine Orte mit einem Anteil   kann nämlich der erste Term in der obigen Gleichung vernachlässigt werden, denn er ist sehr klein von der Größenordnung  . Die Replikatorgleichung reduziert sich für kleine Orte auf

 

Dies ist eine sogenannte Langevin-Gleichung, die ein multiplikatives Wachstum der Einwohnerzahl beschreibt (Gibrat’s Gesetz[1]). Unter der Annahme, dass   durch weißes Rauschen beschrieben werden kann, ist die Größenverteilung kleiner Orte aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes durch eine Lognormalverteilung gegeben:

 

mit den freien Parametern   und  . Für große Orte muss man jedoch den Term   mitberücksichtigen. Um die daraus folgende Veränderung der Größenverteilung zu bestimmen, führt man neue Variable ein. Es sei:

 

und

 

Durch Einsetzen erhält man:

 

Diese Form einer Langevingleichung ist aus der Diffusion Brownscher Teilchen bekannt. Sie beschreibt eine fluktuierende Größe   in einem Potential  . Die Verteilungsfunktion   wird über einen längeren Zeitraum durch eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschrieben:

 

Dabei ist   die Rauschamplitude der stochastischen Funktion   und

 

Durch Einsetzen der ursprünglichen Variablen erhält man:

 

Die Integration liefert schließlich eine Pareto-Verteilung (power-law-Verteilung) der Form

 

mit dem Pareto-Exponenten  . Die Verteilung großer Orte mit   wird also nach genügend langer Zeit durch ein Potenzgesetz beschrieben. Für große Städte ist bekannt, dass sie in eine Zipf Verteilung mit   übergeht.
Die Verteilung der Ortsgröße ist daher eine Lognormalverteilung für kleine Orte und einer Pareto-Verteilung für große Orte (Städte), wie sie auch in empirischen Untersuchungen gefunden wird. Die Theorie besagt, dass große Orte einen Wachstumsvorteil allein durch ihre Größe haben. Dieser sogenannte Skaleneffekt kommt zustande, weil große Orte mehr vom Wachstum der Einwohnerzahl eines Landes profitieren können als kleine Orte. Kleine Orte laufen dagegen Gefahr, bereits durch minimale Fluktuationen (aufgrund geringer Geburtenzahlen und schlechter wirtschaftlicher Bedingungen) komplett zu verschwinden.

Orte nach GrößeBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • X. Gabaix, Y. Ioannides: The evolution of city size distributions in: Handbook of Regional and Urban Economics, V. Henderson and J. Thisse, Eds., vol. 4, North-Holland, Amsterdam, The Netherlands, 2004.
  • Empirische Verteilung der Ortsgrößen. J. Eeckhout, „Gibrat’s law for (all) cities“ The American Economic Review, vol. 94, no. 5, S. 1429–1451, 2004. Online
  • Joachim Kaldasch: Evolutionary Model of the City Size Distribution, ISRN Economics, Article ID 498125, 2014 Online.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gibrat’s law (engl. WP)