In der Mathematik ist die Mian–Chowla-Folge (englisch Mian–Chowla sequence) eine Folge von ganzen Zahlen, die den Anfangswert hat und wie folgt rekursiv definiert ist:

Für ist die kleinste ganze Zahl, für die jede paarweise Summe verschieden ist für alle .

Die Folge wurde von Abdul Majid Mian and Sarvadaman Chowla im Jahr 1944 erfunden.[1][2]

Berechnung

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Die Folge startet mit  .

Angenommen,  . Man betrachtet alle möglichen Summen von   und  . Man erhält die Summen   und  . Die so erhaltenen Summen   und   sind alle paarweise verschieden, somit ist tatsächlich  .

Angenommen,  . Man betrachtet alle möglichen Summen von   und   und erhält   und  . Die so erhaltenen Summen   und   sind aber nicht alle paarweise verschieden, weil   ist. Somit muss   sein.

Angenommen,  . Man betrachtet alle möglichen Summen von   und   und erhält   und  . Die so erhaltenen Summen   und   sind alle paarweise verschieden, somit ist  .

Angenommen,  . Dann muss man alle möglichen Summen von   und   betrachten und erhält unter anderem  , somit sind nicht alle erhaltenen Summen paarweise verschieden, es ist also  .

Angenommen,  . Dann muss man alle möglichen Summen von   und   betrachten und erhält unter anderem  , somit sind auch in diesem Fall nicht alle erhaltenen Summen paarweise verschieden, es ist also  .

Angenommen,  . Dann muss man alle möglichen Summen von   und   betrachten und erhält unter anderem  , somit sind auch in diesem Fall nicht alle erhaltenen Summen paarweise verschieden, es ist also  .

Angenommen,  . Dann muss man alle möglichen Summen von   und   betrachten. In diesem Fall erhält man die Summen   und  . Es sind alle erhaltenen Summen paarweise verschieden, es ist also  .

Insgesamt besteht die Mian–Chowla-Folge aus folgenden Gliedern:

1, 2, 4, 8, 13, 21, 31, 45, 66, 81, 97, 123, 148, 182, 204, 252, 290, 361, 401, 475, … (Folge A005282 in OEIS)

Eigenschaften

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  • Die Mian–Chowla-Folge ist per Definition eine unendliche Sidon-Folge.
  • Für den Grenzwert der Summe der Inversen der Folgenglieder   der Mian–Chowla-Folge gilt:[3]
 

Ähnliche Zahlenfolge

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Beginnt man die obige Zahlenfolge nicht mit  , sondern mit  , belässt aber die Rekursion gleich, so erhält man die folgende Zahlenfolge:

0, 1, 3, 7, 12, 20, 30, 44, 65, 80, 96, … (Folge A025582 in OEIS)

Die einzelnen Glieder sind jeweils um 1 kleiner als bei der obigen Mian–Chowla-Folge.

Beispiel:
Seien  ,   und   schon bekannt.
Angenommen,  . Dann muss man alle möglichen Summen von   und   betrachten und erhält unter anderem  , somit sind nicht alle erhaltenen Summen paarweise verschieden, es ist also  .
Angenommen,  . Dann muss man alle möglichen Summen von   und   betrachten und erhält unter anderem  , somit sind nicht alle erhaltenen Summen paarweise verschieden, es ist also  .
Angenommen,  . Dann muss man alle möglichen Summen von   und   betrachten und erhält unter anderem  , somit sind nicht alle erhaltenen Summen paarweise verschieden, es ist also  .
Angenommen,  . Dann muss man alle möglichen Summen von   und   betrachten. In diesem Fall erhält man die Summen
  und  .
Es sind alle erhaltenen Summen paarweise verschieden, es ist also  .

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Abdul Majid Mian, Sarvadaman Chowla: On the B2-sequences of Sidon. Proc. Nat. Acad. Sci. India, A14, 1944, S. 3–4.
  2. Folge A005282 in OEIS
  3. Raffaele Salvia: A New Lower Bound for the Distinct Distance Constant. (PDF) Journal of Integer Sequences, Vol. 18, 2015, S. 1–4 (Article 15.4.8), abgerufen am 14. Juni 2024 (Abschnitt 2.2: The reciprocal sum of the Mian-Chowla sequence).