Nach der Methode von Swale lässt sich der Radius eines gegebenen Kreises , dessen Mittelpunkt und dessen Radius nicht eingezeichnet sind, mit Hilfe von nur zwei Kreisbögen und zwei Strecken konstruieren.

Methode von Swale (Planfigur)

Ross Honsberger stellt die Methode als Problem Nr. 48 in seinem Buch Mathematical Morsels (deutsch: Gitter-Reste-Würfel) dar, ohne näher auf Swale einzugehen.[1] Er verweist dazu auf die Lösung eines Problems in der Zeitschrift Pi Mu Epsilon aus dem Jahr 1951.

Problemstellung

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Der Radius eines gegebenen Kreises  , dessen Mittelpunkt   und dessen Radius   nicht eingezeichnet sind, ist mit Hilfe von zwei Kreisbögen und zwei Strecken zu konstruieren. Die Konstruktion ist zu begründen.

Konstruktionsbeschreibung

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1. Konstruktionsschritt:

Markiere einen Punkt   auf der Kreislinie von   und zeichne einen Kreis   um  , dessen Radius beliebig so gewählt ist, dass er den Kreis   in den Punkten   und   schneidet.

2. Konstruktionsschritt:

Zeichne einen Kreis um   mit dem Radius  , der den Kreis   im Punkt   des Kreisinneren von   schneidet.

3. Konstruktionsschritt:

Zeichne eine Strecke von   zu einem Punkt   von  , auf der der Punkt   liegt.

4. Konstruktionsschritt:

Zeichne die Strecke  . Deren Länge ist der Radius von  .

Grafische Darstellung der Konstruktionsschritte (Die hinzugekommenen Schritte sind jeweils grün markiert.):

Begründung der Konstruktion

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(Die Begründungsschritte basieren auf der obigen Planfigur.)

  • Jede Seite des Dreiecks   ist so lang wie der Radius von  . Deshalb ist das Dreieck   gleichseitig mit dem Innenwinkel der Weite 60°.
  • Der zu   gehörige Peripheriewinkel   hat die Weite 30°, da er halb so groß ist wie der zugehörige Mittelpunktswinkel   mit der Weite 60°.
  •   ist zugleich auch der zu   gehörige Peripheriewinkel. Deshalb hat der Mittelpunktswinkel   des Kreises   die Weite 60° und ist damit Innenwinkel des Dreiecks  , welches folglich gleichseitig ist.
  • Der Radius des Kreises   ist somit die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks  .

Vergleich mit der Konstruktion des Radius anhand zweier Mittelsenkrechten

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Standard-Konstruktion des Radius zum Vergleich

Normalerweise werden die Mittelsenkrechten zweier benachbarter Sehnen konstruiert, um zunächst den Kreismittelpunkt als Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten zu erhalten. Daraus ergibt sich der Radius durch Verbinden des Mittelpunkts mit einem Punkt der Kreislinie. Man benötigt hierzu mindestens drei Kreisbögen und zwei Strecken, nämlich die beiden Sehnen, während die Methode von Swale nur zwei Kreisbögen, nämlich   und den Kreis um   mit Radius  , sowie zwei Strecken, nämlich   und  , benutzt.[1][2]

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Commons: Circle geometry – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. a b Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 121 und 122
  2. Leo Moser: PROBLEM DEPARTMENT. Pi Mu Epsilon Journal, vol. 1, no. 4, 1951, p. 146 (Lösung von Ding Hwang, University of California)