Lemniskate

algebraische Kurbe

Eine Lemniskate (von griechisch λημνίσκος lēmnískos ‚Schleife‘) ist eine schleifenförmige geometrische Kurve in der Form einer liegenden Acht. Meist ist mit „Lemniskate“ die Lemniskate von Bernoulli gemeint.

Lemniskate von BernoulliBearbeiten

 
Lemniskate von Bernoulli

Die Lemniskate von Bernoulli (nach Jakob I Bernoulli) ist eine algebraische Kurve vom Grad 4, sie hat die Gleichung

 

mit einem Parameter  , der den Abstand der Punkte   und   vom Ursprung bezeichnet. Sie stellt die Ortskurve aller Punkte   mit   dar. Ihre Schnittpunkte mit der x-Achse liegen bei   sowie im Ursprung.

In Polarkoordinaten wird sie durch die Gleichung

 

beschrieben. Sie ist ein Spezialfall der Cassinischen Kurve, die allgemeiner durch   mit   definiert ist. Die Lemniskate entsteht für  .

Lemniskate von BoothBearbeiten

 
Lemniskate von Booth

Eine Lemniskate von Booth (nach James Booth) ist eine algebraische Kurve vom Grad 4, sie hat die Gleichung

 

mit  .[1]

Für   erhält man eine Lemniskate von Bernoulli.

Sie ist ein Sonderfall der Hippopede des Proklos (o. B. d. A. gilt   und  ):

 

für den Fall  . Für   hat man ovalförmige geschlossene Kurven, weshalb sie in diesem Fall Ovale von Booth heißen. Der Name Hippopede kommt aus dem Griechischen und hat seinen Ursprung darin, dass sie an eine Fußfessel für Pferde erinnern. Sie sind Sonderfälle der Spiralen des Perseus, die sich als Parallelschnitte durch einen Torus ergeben, wobei die Ebenen senkrecht auf der Achse in der Ebene des Torus stehen. Die Lemniskate ergibt sich, wenn die Ebene gerade den inneren Ring im Torus berührt.

Lemniskate von GeronoBearbeiten

 
Lemniskate von Gerono: Lösungsmenge von x4−x2+y2=0[2]

Die nach Camille-Christophe Gerono benannte Lemniskate von Gerono ist eine algebraische Kurve vom Grad 4 und Geschlecht 0, sie hat die Gleichung

 

Als Kurve vom Geschlecht 0 kann sie durch rationale Funktionen parametrisiert werden, beispielsweise durch:

 
 

Eine einfachere Parametrisierung ist die Parametrisierung als Lissajous-Figur:

 
 

Lawrence[3] gibt die etwas allgemeinere Gleichung an:

 

Diese hat die Parameterdarstellung:

 
 

mit  .

Sie wird auch als Acht-Knoten (Eight knot) bezeichnet.

Die Kurve war schon Grégoire de Saint-Vincent (Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, 1647, als parabolis virtualis), Christiaan Huygens (Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz 16. März 1691, mit der Bezeichnung Lemniskate) und Gabriel Cramer (1750, der sie Doppelsack nannte) bekannt.[4] Jules Antoine Lissajous behandelt sie, parametrisiert durch trigonometrische Funktionen, 1857. Nach Gerono benannt wurde die Kurve Ende des 19. Jahrhunderts (zum Beispiel Gabriel-Marie, Exercices de géométrie descriptive, 1900).

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Lemniskate – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Lemniskate – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Französische Webseite zur Lemniskate von Booth
  2. Achtkurve.
  3. Lawrence: A catalog of special plane curves. Dover 1972, S. 124.
  4. Diskussion in mathoverflow