Geodätischer metrischer Raum

Begriff aus der Mathematik
(Weitergeleitet von Längenraum)

Der geodätische metrische Raum ist ein Begriff aus der Mathematik. Er beschreibt Räume, in denen man zu je zwei Punkten eine kürzeste Verbindungskurve finden kann. Der Begriff verallgemeinert das Konzept der vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten auf allgemeine metrische Räume. In der Literatur finden sich auch die Bezeichnungen Längenraum oder innerer metrischer Raum.

Geodäten in metrischen Räumen

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Sei   ein metrischer Raum. Ein Weg ist eine stetige Abbildung  , wobei   ein abgeschlossenes Intervall im   ist. Die Länge der Bildkurve ist definiert als

 .

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Ungleichung  . Der Weg   heißt minimierende Geodäte, wenn Gleichheit

 

gilt.

Definition

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Ein metrischer Raum   heißt geodätisch, wenn es zu je zwei Punkten   eine minimierende Geodäte   mit

 

gibt.

Beispiele nicht-geodätischer metrischer Räume

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Sei

 

die punktierte komplexe Ebene mit der Metrik

 

für  . Dieser Raum ist wegzusammenhängend, es lassen sich also je zwei Punkte durch mindestens eine Kurve verbinden.

Dann ist zum Beispiel   oder  , in beiden Fällen lassen sich die Punktepaare aber nicht durch Kurven der Länge 2 verbinden.

Allgemeiner folgt aus dem Satz von Hopf-Rinow, dass eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit dann und nur dann ein geodätischer metrischer Raum ist, wenn sich alle Geodäten auf ganz   fortsetzen lassen.

Satz von Hopf-Rinow

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Für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit   definiert man eine Metrik   durch

 

für  . Dabei durchläuft   alle stückweise differenzierbaren Wege, die   und   verbinden, und   bezeichnet die Riemannsche Länge von  , die gemäß

 

definiert ist. Damit wird die Riemannsche Mannigfaltigkeit zu einem metrischen Raum  .

Aus dem Satz von Hopf-Rinow folgt:

  •   ist ein geodätischer metrischer Raum

genau dann, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

Literatur

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